3.2. Умовна ймовірність

У темі 1 випадкова подія визначена як подія, яка при здійсненні сукупності умов S може чи відбутися не відбутися. Якщо при обчисленні ймовірності події ніяких інших обмежень, крім умов S, не накладається, то таку ймовірність називають безумовною; якщо ж накладаються й інші додаткові умови, то ймовірність події називаютьумовною. Наприклад, часто обчислюють ймовірність події В при додатковій умові, що відбулася подія А. Відмітимо, що і безумовна ймовірність, строго кажучи, є умовною, оскільки передбачається здійснення умов S.

Умовною ймовірністю Р_А(В)називають ймовірність події B обчислену в припущенні, що подія А вже наступила.

Приклад.В урні знаходиться 3 білих і 3 чорних кулі. З урни два рази виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні була витягнута чорна куля (подія А).

Розв’язок. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, з них 3 білих. Шукана умовна ймовірність

.

Цей же результат можна одержати за формулою

.

Дійсно, ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні

.

Знайдемо ймовірність Р(АВ) того, що в першому випробуванні з’явиться чорна куля, а в другому - біла. Загальне число результатів - спільної появи двох куль, байдуже якого кольору, дорівнює числу розміщень . З цього числа результатів події A сприяютьрезультатів. Отже,

.

Шукана умовна ймовірність

.

Як бачимо, отримано попередній результат.

Виходячи з класичного визначення ймовірності формулу (*) можна довести. Це обставина і слугує підставою для наступного загального (застосовного не тільки для класичної ймовірності) визначення.

Умовна ймовірністьподії В за умови, що подія А вже наступила, за визначенням, дорівнює

.

Запишемо загальну формулу для обчислення умовної ймовірності.

В області навмання вибирається точка. Позначимо події:

А - точка попала в область А;

В – точка попала в область В.

Потрібно визначити умовну ймовірність .

Оскільки подія В здійснилася, то після цього всі можливі положення точки скорочуються до множини В. Попасти в множину А точка може тільки тоді, коли знаходиться в заштрихованій області. Отже . Поділимо чисельник і знаменникцього дробу на площу. Одержимо, враховуючи, що,.

У зв’язку з цим умовна ймовірність події А при умові,що подія В відбулася, визначається як відношеннядопри, тобто.

3.3. Теорема множення ймовірностей

Розглянемо дві події: А і В, ймовірності Р(А) і Р_А(В) яких відомі. Як знайти ймовірність суміщення цих подій, тобто ймовірність того, що з’явиться і подія А і подія В? Відповідь на це питання дає теорема множення.

Теорема.Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила:

.

Доведення. За визначенням умовної ймовірності,

.

Звідси

. (*)

Зауваження. Застосувавши формулу (*) до події ВА, одержимо

,

чи, оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ,

. (**)

Порівнюючи формули (*) і (**), робимо висновок про справедливість рівності

. (***)

Наслідок.Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:

,

де - ймовірність події, обчислена в припущенні, що подіїнаступили. Зокрема, для трьох подій

.

Відмітимо, що порядок, у якому розташовані події, може бути обраний будь-яким, тобто байдуже яку подію вважати першою, другою і т.д.

Приклад 1. У складальника є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний.

Розв’язок. Ймовірність того, що перший валик виявиться конусним (подія А),

.

Ймовірність того, що другий валик виявиться еліптичним (подія В), обчислена в припущенні, що перший валик - конусний, тобто умовна ймовірність

.

За теоремою множення шукана ймовірність

.

Відмітимо, що, зберігши позначення, легко знайдемо: ,,, що наочно ілюструє справедливість рівності (***).

Приклад 2. В урні знаходиться5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання виймають одну кулю, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля (подія А), при другому - чорна (подія В) і при третьому - синя (подія С).

Розв’язок. Ймовірність появи білої кулі в першому випробуванні

.

Ймовірність появи чорної кулі в другому випробуванні обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилась біла куля, тобто умовна ймовірність

.

Ймовірність появи синьої кулі у третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилася біла куля, а в другому - чорна, тобто умовна ймовірність

.

Шукана ймовірність

.