3.5. Ймовірність появи хоча б однієї події

Нехай у результаті випробування можуть з’явитися nподій, незалежних у сукупності, або деякі з них (зокрема, тільки одна чи ні одної), причому ймовірності появи кожної із подій відомі. Як знайти ймовірність того, що наступить хоча б одна з цих подій? Наприклад, якщо в результаті випробування можуть з’явитися три події, то поява хоча б одної з цих подій означає настання або одної, або двох, або трьох подій. Відповідь на поставлене питання дає наступна теорема.

Теорема. Ймовірність появи хоча б одної з подій , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій:

.

Доведення. Позначимо черезподію, яка полягає в появі хоча б одної з подій. Подіїі(ні одна з подій не наступила) протилежні, значить сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

.

Звідси, користуючись теоремою множення, отримаємо

,

або

.

Частковий випадок.Якщо події мають однакову ймовірність, рівну, то ймовірність появи хоча б одної з цих подій

.

Приклад 1. Ймовірності влучення в ціль при стрільбі з трьох гармат такі: p₁=0,8; p₂=0,7; р₃=0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх гармат.

Розв’язок. Ймовірність влучення в ціль кожною з гармат не залежить від результатів стрільби з інших гармат; тому розглянуті події А₁(влучення першої гармати), A₂(влучення другої гармати) і A₃(влучення третьої гармати) незалежні в сукупності.

Ймовірності подій, протилежних подіям А₁A₂і A₃(тобто ймовірності промахів), відповідно рівні:

;

;

.

Шукана ймовірність

.

3.6. Формула повної ймовірності

Нехай подія А може настати за умови появи однієї з несумісних подій B_l, В₂,..., В_n, які утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій і умовні ймовірності Р_В1(А), Р_В2(А),..., Р_Вn(А) події А. Як знайти ймовірність події А? Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема.Ймовірність події А,яка може настати лише за умови появи одної із несумісних подій В₁, В₂,..., В_n,що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

.

Цю формулу називають „формулою повною ймовірності”.

Доведення. За умовою, подіяА може настати, якщо настане одна з несумісних подій B_l, В₂,..., В_n.Іншими словами, поява подіїА означає здійснення одної, байдуже якої, з несумісних подійВ₁А, B₂A,...,В_nА. Користуючись для обчислення ймовірності події А теоремою додавання, отримаємо

. (*)

Залишається обчислити кожний з доданків. За теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо

.

Підставивши праві частини цієї рівності у співвідношення (*), отримаємо формулу повної ймовірності

.

3.7. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса

Нехай подія А може настати за умови появи однієї з несумісних подій В₁, В₂,... В_n, що створюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називаютьгіпотезами. Ймовірність появи подіїА визначається за формулою повної ймовірності (див. п. 2):

.

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з’явилася подія А. Поставимо своєю задачею визначити, як змінилися (у зв’язку з тим, що подіяА вже настала) ймовірності гіпотез. Іншими словами, будемо шукати умовні вірогідності

.

Знайдемо спочатку умовну ймовірність Р_А(В₁). За теоремою множення маємо

.

Звідси

.

Замінивши тут Р(А) за формулою (*), отримаємо

.

Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези В_і(і=1, 2, ..., n) може бути обчислена за формулою

.

Отримані формули називають формулами Байєса (по імені англійського математика, який їх вивів; були опубліковані в 1764 році)

Формули Байєса дозволяють переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стане відомим результат випробування, внаслідок якого з’явилась подія А.

Запитання для самоперевірки:

1. Що називають добутком подій А і В?

2. Поясніть поняття умовної ймовірності.

3. Як визначити ймовірність спільної появи двох подій?

4. Які події називають незалежними?

5. Які події називають попарно незалежними?

6. Які події називають незалежними у сукупності?

7. Як обчислити ймовірність спільної появи декількох подій, незалежних у сукупності?

8. Як обчислити ймовірність появи тільки однієї з декількох незалежних подій?

9. Як обчислити ймовірність появи хоча б однієї події?

10. Яку формулу називають «формулою повної ймовірності»? Виведіть її.

11. Які можливості надає формула Байєса?

12. Покажіть, як за допомогою формули Байєса можна перевірити ймовірність гіпотез.