9. Функція розподілу імовірностей випадкової величини

9.1. Визначення функції розподілу

Пригадаємо, що дискретна випадкова величина може бути задана переліком всіх її можливих значень і їх ймовірностей. Такий спосіб завдання не є загальним: він непридатний, наприклад, для безперервних випадкових величин.

Дійсно, розглянемо випадкову величину Х, можливі значення якої суцільно заповнюють інтервал (а, b). Чи можна скласти перелік всіх можливих значень Х? Очевидно; що цього зробити не можна. Цей приклад вказує на доцільність дати загальний спосіб завдання будь-яких типів випадкових величин. З цією метою і вводять функції розподілу ймовірностей випадкової величини.

Хай х - дійсне число. Імовірність події, що полягає в тому, що Х прийме значення, менше х, тобто імовірність події Х<х, позначимо через F(х). Зрозуміло, якщо х змінюється, то, взагалі кажучи, змінюється і F(х) тобто F(х) функція від х.

Функцією розподілу називають функцію F(х), яка визначає імовірність того, що випадкова величина Х внаслідок випробування прийме значення, менше х, тобто

.

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: F(х) є імовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі крапкою, що лежить ліворуч точки х.

Іноді замість терміну “функція розподілу” використовують термін “інтегральна функція”.

Тепер можна дати більш точне визначення безперервної випадкової величини: випадкову величину називають безперервною, якщо її функція розподілу є безперервна функція, що кусочно-диференціюється з безперервною похідною.

9.2. Властивості функції розподілу

Властивість 1. Значення функції розподілу належать відрізку [0, 1]:

.

Доведення. Властивість витікає з визначення функції розподілу як ймовірності: ймовірність завжди є невід’ємне число, що не перевищує одиниці.

Властивість 2. F(х) - не спадна функція, тобто

, якщо .

Доведення. Хай . Подію, що полягає в тому, щоХ прийме значення, менше , можна підрозділити на наступні дві несумісні події: 1)Х прийме значення, менше , з імовірністю; 2)Х прийме значення, що задовольняє нерівність , з імовірністю. За теоремою додавання маємо

.

Звідси

.

або

. (*)

Оскільки. будь-яка ймовірність є число невід’ємне, то , або, що і вимагалося довести.

Наслідок 1. Імовірність того, що випадкова величина прийме значення, укладене в інтервалі (а, b), рівна приросту функції розподілу на цьому інтервалі:

. (**)

Цей важливий наслідок витікає з формули (*), якщо покласти x₁=a і х₂=b.

Наслідок 2. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х прийме одне певне значення, рівна нулю.

Дійсно, поклавши у формулі (**) а=x₁, b=x₁+x, маємо

.

Спрямуємо x до нуля. Оскільки Х - безперервна випадкова величина, то функція F(х) безперервна. Через неперервність F(х) в точці х₁ різниця також прагне до нуля; отже, Р (Х=х₁)=0. Використовуючи це положення, легко переконатися в справедливі рівностей

. (***)

Наприклад, рівність доводиться так:.

Таким чином, не представляє інтересу говорити про імовірність того, що безперервна випадкова величина прийме одне певне значення, але має сенс розглядати імовірність попадання її до інтервалу, хай навіть скільки завгодно малого. Цей факт повністю відповідає вимогам практичних задач. Наприклад, цікавляться імовірністю того, що розміри деталей не виходять за дозволені границі, але не ставлять питання імовірності їх співпадіння з проектним розміром.

Відмітимо, що було б неправильним думати, що рівність нулю імовірності Р(Х=х₁) означає, що подія Х=x_l неможлива (якщо, звичайно, не обмежуватися класичним визначенням імовірності). Дійсно, результаті випробування випадкова величина обов’язково прийме одне з можливих значень; зокрема, це значення може виявитися рівним х₁.

Властивість 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а, b), то: 1) F(x)=0 при ; 2) F(x)=l при .

Доведення. 1) Хай . Тоді подіяХ<х₁неможлива (оскільки значень, менших х₁, величина Х за умовою не приймає) і, отже, імовірність її рівна нулю.

2) Хай . Тоді подіяХ<x₂ достовірна (оскільки всі можливі значення Х менші х₂) і, отже, імовірність її рівна одиниці. Г

Наслідок. Якщо можливі значення безперервної випадкової величини розташовані на всій осі х, та справедливі наступні граничні співвідношення:

; .