МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ
УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО
“Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика”
КУРС ЛЕКЦІЙ
для бакалаврів денної форми навчання напрямів підготовки:
050101 «Комп’ютерні науки» ,
040303 «Системний аналіз»
050103 «Програмна інженерія»
галузей знань:
0501 «Інформатика та обчислювальна техніка»,
0403 «Системні науки та кібернетика»
Черкаси-2012
ББК 22.171
УДК 519.2
Теорія ймовірностей. Курс лекцій з дисципліни для студентів напряму 7.0804 “Комп’ютерні науки” / Косенюк Г.В. – Черкаси: ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2012. – 00 с.
Укладач – Косенюк Григорій Володимирович, к.т.н., доцент кафедри інформаційних систем та медичних технологій
Рецензент – Мамчич Тетяна Іванівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри прикладної математики Волинського державного університету імені Лесі Українки
Затверджено кафедрою інформаційних систем та медичних технологій 29 серпня 2012 року, протокол №1.
© Косенюк Г.В., 2012
© Черкаський національний університет ім. Богдана Хмельницького, 2012
ВСТУП
Предмет теорії ймовірностей. Події (явища), що спостерігаються нами, можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові.
Достовірною називають подію, що обов’язково відбудеться, якщо буде здійснена визначена сукупність умов S. Наприклад, якщо в судині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20°, то подія "вода в судині знаходиться в рідкому стані" є достовірною. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.
Неможливою називають подію, що завідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов S. Наприклад, подія "вода в судині знаходиться у твердому стані" завідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.
Випадковою називають подію, яка при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може упасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія "при киданні монети випав герб" - випадкова. Кожна випадкова подія, зокрема випадання "герба", є наслідок дії дуже багатьох випадкових чинників (у нашому прикладі: сила, з якою кинута монета, форма монети і багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат усіх цих причин, оскільки число їхній дуже велике і закони їхньої дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу пророчити, відбудеться одинична чи подія ні, - вона просто не в силах це зробити.
Теорія ймовірностей виникла в середині XVII у. в зв’язку із задачами розрахунку шансів виграшу гравців в азартних іграх. Пристрасний гравець в кістки француз де Мере, прагнучи розбагатіти, придумував нові правила гри. Він пропонував кидати кістку чотири рази підряд і тримав парі, що при цьому хоча б один раз випаде шістка (6 очок). Для більшої упевненості у виграші де Мере звернувся до свого знайомого, французького математика Паскаля, з проханням розрахувати ймовірність виграшу в цій грі. Паскаль розрахував, що у де Мере було більше шансів виграти, чим програти.
По-іншому обстоїть справа, якщо розглядаються випадкові події, що можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні тих самих умов S, тобто якщо мова йде про масові однорідні випадкові події. Виявляється, що досить велике число однорідних випадкових подій незалежно від їхньої конкретної природи підкоряється визначеним закономірностям, а саме ймовірнісним закономірностям. Установленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей. Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
Знання закономірностей, яким підкоряються масові випадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Наприклад, хоча, як було вже сказане, не можна наперед визначити результат одного кидання монети, але можна передбачити, причому з невеликою погрішністю, число появ "герба", якщо монета буде кинуте досить велике число раз. При цьому передбачається, звичайно, що монету кидають у тих самих умовах.
В XVII-XVIII ст. теорія ймовірностей розвивалася повільно, оскільки область її застосування, зважаючи на низький рівень природознавства, обмежувалася невеликим колом питань (страхування, азартні ігри, демографія). З XIX ст. і до теперішнього часу, у зв’язку із запитами практики, теорія ймовірностей безперервно і швидко розвивається, її методи усе ширше і ширше проникають у різні області науки і техніки, сприяючи їхньому прогресу.
Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, теорії помилок спостережень, теорії автоматичного керування, загальній теорії зв’язку і у багатьох інших теоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить також для обґрунтування математичної і прикладної статистики, що у свою чергу використовується при плануванні й організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, попереджувальному і кінцевому контролі якості продукції і для багатьох інших цілей.
Теорія ймовірностей є розділом математики, який вивчає закономірності випадкових масових подій стійкої частості.
Коротка історична довідка. Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVІ-XVІІ ст.).
Наступний етап розвитку теорії ймовірностей зв’язаний з ім’ям Якоба Бернуллі (1654-1705). Доведена ним теорема, що одержала згодом назву "Закону великих чисел", була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів.
Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов’язана Муавру, Лапласові, Гауссу, Пуассонові та ін.
Новий, найбільш плідний період зв’язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821-1894) і його учнів, О.О. Маркова (1856-1922) і О.М. Ляпунова (1857-1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її наступний розвиток зобов’язаний у першу чергу радянським математикам (С.М. Бернштейн, В.І. Романовский, О.М. Колмогоров, О.Я. Хінчин, Б.В. Гнеденко, М.В. Смирнов і ін.).
РОЗДІЛ 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ