2.2. Ймовірність суми подій, що утворюють повну групу

Теорема. Сума ймовірностей подій A₁, A₂,...А_n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Доведення. Так як поява однієї з подій повної групи достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то

Р(А₁+А₂+...+А_n)=1. (*)

Будь-які дві події повної групи несумісні, тому можна застосувати теорему додавання:

Р(А₁+А₂+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n). (**)

Порівнюючи (*) і (**), одержимо

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Приклад. Консультаційний пункт інституту одержує пакети з контрольними роботами з міст А, В і С. Ймовірність одержання пакета з міста А дорівнює 0,7, з міста В - 0,2. Знайти ймовірність того, що черговий пакет буде отриманий з міста С.

Розв’язок. Події «пакет отриманий з міста А», «пакет отриманий з міста В», «пакет отриманий з міста С» утворюють повну групу, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:

0,7+0,2+р=1.

Звідси шукана ймовірність

Р=1- 0,9=0,1.

2.3. Сума ймовірностей протилежних подій

Протилежними називають дві єдино можливі події, що утворюють повну групу. Якщо одну з двох протилежних подій позначено через А, то іншу прийнято позначати .

Приклад 1. Влучення і промах при пострілі по цілі ­ протилежні події. Якщо А ­ влучення, то ­ промах.

Приклад 2. Із ящика навмання вийнята деталь. Події «вийнята стандартна деталь» і «вийнята нестандартна деталь» ­ протилежні.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А)+Р()=1.

Доведення. Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, як було показано вище, дорівнює одиниці.

Зауваження 1. Якщо ймовірність однієї з двох протилежних подій позначена через р, то ймовірність іншої події позначають через q. Таким чином, у силу попередньої теореми

р+q=1.

Приклад 3. Ймовірність того, що день буде дощовим, р=0,7. Знайти ймовірність того, що день буде ясним.

Розв’язок. Події «день дощовий» і «день ясний» ­ протилежні, тому шукана ймовірність

q=1-р=1-0,7=0,3.

Зауваження 2. При розв’язанні задач на знаходження ймовірності події А часто зручно спочатку обчислити ймовірність події , а потім знайти шукану ймовірність за формулою

Р(А)=1-Р().

Приклад 4. У ящику знаходиться n деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k навмання вийнятих деталей хоча б одна стандартна.

Розв’язок. Події «серед вийнятих деталей є хоча б одна стандартна» і «серед витягнутих деталей немає ні одної стандартної» ­ протилежні. Позначимо першу подію через А, а другу ­ через .

Очевидно, що

Р(А)=1-Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна витягтиk деталей з n деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей дорівнюєn-m; з цього числа деталей можна способами витягтиk нестандартних деталей. Тому ймовірність того, що серед витягнутих k деталей немає ні одної стандартної, дорівнює Р()=/.

Шукана ймовірність

Р(А)=1-Р()=1-/.

2.4. Ймовірність суми сумісних подій

Раніше була розглянута теорема додавання для несумісних подій. Тут буде доведена теорема додавання для сумісних подій.

Дві події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному і тому ж випробуванні.

Приклад 1. А - поява чотирьох очок при киданні гральної кістки; В - поява парного числа очок. Події А і В - сумісні.

Хай події А і В сумісні, причому відомі ймовірності цих подій і ймовірність їх спільної появи. Як знайти ймовірність події А+В, що полягає в тому, що з’явиться хоча б одна з подій А і В? Відповідь на це питання дає теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи:

.

Доведення. Оскільки події А і В, за умовою, сумісні, то подія А+В настане, якщо настане одна з наступних трьох несумісних подій: ,або. По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій

. (*)

Подія А відбудеться, якщо настане одна з двох несумісних подій: або. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

.

Звідси

. (**)

Аналогічно маємо

.

Звідси

. (***)

Підставивши (**) і (***) в (*), остаточно одержимо

. (****)

Зауваження 1. При використанні одержаної формули потрібно мати на увазі, що події А і В можуть бути як незалежними, так і залежними.

Для незалежних подій

;

для залежних подій

.

Зауваження 2. Якщо події А і В несумісні, то їх суміщення є неможлива подія і, отже, . Формула (****) для несумісних подій приймає вигляд

.

Ми знову одержали теорему додавання для несумісних подій. Таким чином, формула (****) справедлива як для сумісних, так і для несумісних подій.

Приклад 2. Ймовірності влучення в ціль при стрільбі першої і другої гармат відповідно рівні: ;. Знайти ймовірність влучення при одному залпі (з обох гармат) хоча б одною з гармат.

Розв’язок. Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результату стрільби з іншої гармати, тому подія А (влучення першої гармати) і В (влучення другої гармати) незалежні.

Ймовірність події (обидві гармати дали влучення)

.

Шукана ймовірність

.

Зауваження 3. Оскільки в даному прикладі події А і В незалежні, то можна було скористатися формулою . Дійсно, ймовірності подій, протилежних подіям А і В, тобто ймовірності промахів, такі:

; .

Шукана ймовірність того, що при одному залпі хоча б одна гармата дасть влучення, дорівнює

.

Як і слід було очікувати, отримано той же результат.