2. Ймовірнісний зміст математичного сподіванння

Нехай проведено nвипробувань, у яких випадкова величинаX разів прийняла значення ,разів значення , …, разів значення , причому . Тоді сума всіх значень, прийнятихX, дорівнює

.

Знайдемо середнє арифметичне всіх значень, прийнятих випадковою величиною, для чого розділимо знайдену суму на загальне число випробувань:

_або

. (*)

Відмітивши, що відношення – відносна частотазначення,– відносна частотазначенняі т. д., запишемо співвідношення (*) так:

.

Припустимо, що число випробувань досить велике. Тоді відносна частота приблизно дорівнює ймовірності появи події (це буде доведене пізніше):

,,…,.

Замінивши у співвідношенні (**) відносні частоти відповідними ймовірностями, одержиимо

Права частина цієї наближеної рівності є М(Х).

Отже,

.

Ймовірнісний зміст отриманого результату такий: математичне сподіванння приблизно дорівнює(тим точніше, чим більше число випробувань)середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Зауваження 1. Легко зрозуміти, що математичне сподіванння більше найменшого й менше найбільшого можливих значень. Іншими словами, на числовій осі можливі значення розташовані ліворуч і праворуч від математичного сподіванння. У цьому сенсі математичне сподіванння характеризує розташування розподілу й тому його часто називають центром розподілу.

Цей термін запозичений на механіки: якщо маси ,, …,розташовані в точках з абсцисамих_1, х₂,...,x_n, причому , то абсциса центра маси

.

З огляду на те, що іодержимо.

Отже, математичне сподіванння є абсциса центра маси системи матеріальних точок, абсциси яких рівні можливим значенням випадкової величини, а маси – іх ймовірностям.

Зауваження 2. Походження терміна «математичне сподіванння» пов’язане з початковим періодом виникнення теорії ймовірностей (XVI-XVII ст.), коли область її застосування обмежувалася азартними іграми. Гравця цікавило середнє значення очікуваного виграшу, або, іншими словами, математичне сподіванння виграшу.

3. Властивості математичного сподіванння

Властивість 1. Математичне сподіванння постійної величини дорівнює самій постійній:

.

Доведення. Будемо розглядати постійнуСяк дискретну випадкову величину, що має одне можливе значенняСи приймає його з ймовірністю. Отже,

.

Зауваження 1. Визначимо добуток постійної величиниСна дискретну випадкову величинуХяк дискретну випадковуСХ, можливі значення якої дорівнюють добуткам постійноїСна можливі значенняX; ймовірності можливих значеньСХдорівнюють ймовірностям відповідних можливих значеньX. Наприклад, якщо ймовірність можливого значеннядорівнює, то ймовірність того, що величинаСХприйме значеннятакож дорівнює.

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванння:

.

Доведення. Нехай випадкова величинах задана законом розподілу ймовірностей:

X	х1	х2	…	хп
p	р1	р2	…	рп

З огляду на зауваження 1, напишемо закон розподілу випадкової величини СХ:

СX	Сх1	Сх2	…	Схп
p	р1	р2	…	рп

Математичне сподіванння випадкової величини СХ:

Отже,

.

Зауваження 2. Перш ніж перейти до наступної властивості, укажемо, що дві випадкові величини називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. У протилежному випадку випадкові величини залежні. Кілька випадкових величин називають взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Зауваження 3. Визначимо добуток незалежних випадкових величинXіYяк випадкову величинуXY, можливі значення якої дорівнюють добуткам кожного можливого значенняXна кожне можливе значенняY; ймовірності можливих значень добуткуXYдорівнюють добуткам ймовірностей можливих значень співмножників. Наприклад, якщо ймовірність можливого значеннядорівнюєймовірність можливого значеннядорівнює то ймовірність можливого значеннядорівнює.

Відмітимо, що деякі добутки можуть виявитися рівними між собою. У цьому випадку ймовірність можливого значення добутку дорівнює сумі відповідних ймовірностей. Наприклад, якщо, то ймовірність(або, що те ж саме,) рівна.

Властивість 3.Математичне сподіванння добутку двох незалежних випадкових величин рівне добутку їх математичних сподіваннь:

.

Доведення. Нехай незалежні випадкові величиниXіYзадані своїми законами розподілу ймовірностей:

X	х1	х2	Y	y1	y2
p	р1	р2	g	g1	g2

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY. Для цього перемножимо всі можливі значенняXна кожне можливе значенняY; у підсумку одержимо,,і. З огляду на зауваження 3, напишемо закон розподілуXY, припускаючи для простоти, що всі можливі значення добутку різні (якщо це не так, то доведення проводиться аналогічно):

XY	х1y1	х2y1	х1y2	х2y2
p	р1g1	р2g1	р1g2	Р2g2

Математичне сподіванння дорівнює сумі добутків всіх можливих значень на їх ймовірності:

.

або

Отже, .

Наслідок. Математичне сподіванння добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їхніх математичних сподівань.

Наприклад, для трьох випадкових величин маємо:

.

Для довільного числа випадкових величин доведення проводиться методом математичної індукції.

Приклад 1. Незалежні випадкові величиниXтаYзадані такими законами розподілу:

X	5	2	4	Y	7	9
p	0,6	0,1	0,3	g	0,8	0,2

Знайти математичне сподіванння випадкової величини XY.

Розв’язок. Знайдемо математичні сподіванння кожної наданих величин:

;

.

Випадкові величини XтаYнезалежні, тому шукане математичне сподіванння

.

Зауваження 4. Визначимо суму випадкових величинXтаYяк випадкову величинуX+Y, можливі значення якої дорівнюють сумам кожного можливого значенняXз кожним можливим значеннямY; ймовірності можливих значеньX+Yдля незалежних величинXтаYдорівнюють добуткам імовірностей доданків; для залежних величин – добуткам ймовірності одного доданка на умовну ймовірність другого.

Відмітимо, що деякі суми x+yможуть виявитися рівними між ссбой. У цьому випадку ймовірність можливого значення суми дорівнює сумі відповіднихqмовірностей. Наприклад, якщоx₁+y₂=x₃+y₅і ймовірності цих можливих значень відповідно рівнір₁₂іp₃₅, то ймовірністьx₁+y₂(або, що те ж саме,x₃+y₅) дорівнюєр₁₂+p₃₅.

Наведена нижче властивість справедлива як для незалежних, так і для залежних випадкових величин.