- •“Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика”
- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Випробування і події
- •1.2. Види випадкових подій
- •1.2. Операції над подіями
- •1.3. Класичне визначення ймовірності
- •1.4. Відносна частота. Стійкість відносної частоти
- •1.5. Обмеженість класичного визначення ймовірності. Статистична ймовірність
- •1.6. Геометричні ймовірності
- •1.7. Основні формули комбінаторики
- •Тема 2. Ймовірність суми подій
- •2.1. Ймовірність суми несумісних подій
- •2.2. Ймовірність суми подій, що утворюють повну групу
- •2.3. Сума ймовірностей протилежних подій
- •2.4. Ймовірність суми сумісних подій
- •2.5. Принцип практичної неможливості малоймовірних подій
- •Тема 3. Ймовірність добутку подій
- •3.1. Добуток подій
- •3.2. Умовна ймовірність
- •3.3. Теорема множення ймовірностей
- •3.4. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
- •3.5. Ймовірність появи хоча б однієї події
- •3.6. Формула повної ймовірності
- •3.7. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса
- •Тема 4. Повторні незалежні випробування за схемою бернуллі
- •4.1. Формула Бернуллі
- •4.2. Локальна теорема Лапласа
- •4.3. Інтегральна теорема Лапласа
- •4.4. Ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
- •Розділ 2. Випадкові величини
- •Тема 5. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
- •1. Випадкова величина
- •2. Дискретні і неперервні випадкові величини
- •3. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
- •4. Біноміальний розподіл
- •5. Розподіл Пуассона
- •6. Найпростіший потік подій
- •7. Геометричний розподіл
- •8. Гіпергеометричний розподіл
- •9. Функція розподілу імовірностей випадкової величини
- •9.1. Визначення функції розподілу
- •9.2. Властивості функції розподілу
- •9.3. Графік функції розподілу
- •1. Математичне сподіванння дискретної випадкової величини
- •2. Ймовірнісний зміст математичного сподіванння
- •3. Властивості математичного сподіванння
- •Список рекомендованої літератури
6. Найпростіший потік подій
Розглянемо події, які наступають у випадкові моменти часу.
Потоком подійназивають послідовність подій, які наступають у випадкові моменти часу. Прикладами потоків служать: надходження викликів на АТС, на пункт невідкладної медичної допомоги, прибуття літаків до аеропорту, клієнтів на підприємство побутового обслуговування, послідовність відмов елементів і багато інших.
Серед властивостей, якими можуть бути властиві потокам, виділимо властивості стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.
Властивість стаціонарностіхарактеризується тим, що ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу залежить тільки від числа k і від тривалості t проміжку і не залежить від початку його відліку; при цьому різні проміжки часу передбачаються непересічними. Наприклад, ймовірності появи k подій на проміжках часу (1; 7) (10; 16) (Т; Т+ 6) однакової тривалості t=6 од. часу рівні між собою.
Отже, якщо потік володіє властивістю стаціонарності, то ймовірність появи k подій за проміжок часу тривалості t є функція, залежна тільки від k і t.
Властивість відсутності післядії характеризується тим, що ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з’являлися або не з’являлися події в моменти часу, що передували початку даного проміжку. Іншими словами, умовна ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу, обчислена при будь-яких припущеннях про те, що відбувалося до початку даного проміжку (скільки подій з’явилося, в якій послідовності), дорівнює безумовній ймовірності. Таким чином, передісторія потоку не позначається на ймовірності появи подій в найближчому майбутньому.
Отже, якщо потік володіє властивістю відсутності післядії, то має місце взаємна незалежність появ того або іншого числа подій в непересічні проміжки часу.
Властивість ординарності характеризується тим, що поява двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможлива. Іншими словами, ймовірність появи більше однієї події нікчемно мала в порівнянні з ймовірністю появи тільки однієї події.
Отже, якщо потік володіє властивістю ординарності, то за нескінченно малий проміжок часу може з’явитися не більше однієї події.
Найпростішим (пуассонівским) називають потік подій, який володіє властивостями стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.
Зауваження. Часто на практиці важко встановити, чи володіє потік перерахованими вище властивостями. Тому були знайдені і інші умови, при дотриманні яких потік можна вважати найпростішим або близьким до найпростішого. Зокрема, встановлено, що якщо потік представляє собою суму дуже великого числа незалежних стаціонарних потоків, вплив кожного з яких на суму (сумарний потік) нікчемно малий, то сумарний потік (за умови його ординарності) близький до найпростішого.
Інтенсивністю потоку називають середнє число подій, які з’являються в одиницю часу.
Можна довести, що якщо постійна інтенсивність потоку відома, то ймовірність появи k подій найпростішого потоку за час тривалістю t визначається формулою Пуассона
.
Ця формула відображає всі властивості найпростішого потоку.
Дійсно, з формули видно, що ймовірність появи k подій за час t, при заданій інтенсивності є функцією k і t, що характеризує властивість стаціонарності.
Формула не використовує інформації про появу подій до початку даного проміжку, що характеризує властивість відсутності післядії.
Переконаємося, що формула відображає властивість ординарності. Поклавши k=0 і k=1, знайдемо відповідно ймовірності не появи подій і появи однієї події:
,.
Отже, ймовірність появи більше однієї події
.
Користуючись розкладанням
після елементарних перетворень отримаємо
.
Порівнюючи Pt(1) і Pt(k>l), робимо висновок, що при малих значеннях t ймовірність появи більше одної події нікчемно мала в порівнянні з ймовірністю появи однієї події, що характеризує властивість ординарності.
Отже, формулу Пуассона можна вважати математичною моделлю найпростішого потоку подій.