1.7. Основні формули комбінаторики

Комбінаторика вивчає кількості комбінацій, що підпорядковуються певним умовам, які можна скласти з елементів, байдуже якої природи, заданої кінцевої множини. При безпосередньому обчисленні ймовірностей часто використовують формули комбінаторики. Приведемо найбільш уживані з них.

Перестановками називають комбінації, що складаються із одних і тих самих n різних елементів і відрізняються тільки порядком їхнього розташування. Число усіх можливих перестановок

,

де .

Відмітимо, що зручно розглядати 0!, вважаючи за визначенням 0!=1.

Приклад 1. Скільки тризначних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у зображення числа тільки один раз?

Рішення. Шукане число тризначних чисел

.

Розміщеннями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, що відрізняються або складом елементів, або їх порядком, Число всіх можливих розміщень

.

Приклад 2. Скільки можна скласти сигналів з 6 прапорців різного кольору, узятих по 2?

Рішення. Шукане число сигналів

.

Сполученнями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, що відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень

.

Приклад 3. Скількома способами можна вибрати дві деталі із ящика, що містить 10 деталей?

Рішення. Шукане число способів

.

Число розміщень, перестановок і сполучень зв’язані рівністю

.

Запитання для самоперевірки:

1. Що є предметом вивчення в теорії ймовірностей?

2. Дайте коротку класифікацію подій.

3. Дайте класифікацію випадкових подій.

4. Що означає об’єднання (сума) подій?

5. Що означає перетин (добуток подій?

6. Дайте класичне визначення ймовірності.

7. Як обчислити значення ймовірності?

8. Які властивості притаманні ймовірності?

9. Сформулюйте аксіоми Колмогорова.

10. Дайте визначення відносної частоти.

11. У чому полягає обмеженість класичного визначення ймовірності?

12. Дайте статистичне визначення ймовірності.

13. Для чого застосовуються геометричні ймовірності?

14. Наведіть формули для обчислення ймовірності попадання точки на відрізок, на площу, в об’єм.

Тема 2. Ймовірність суми подій

2.1. Ймовірність суми несумісних подій

2.2. Ймовірність суми подій, що утворюють повну групу

2.3. Сума ймовірностей протилежних подій

2.4. Ймовірність суми сумісних подій

2.5. Принцип практичної неможливості малоймовірних подій

Сумою А+В двох подій А і В називають подію, що полягає в появі події А, чи події В, чи обох цих подій. Наприклад, якщо з гармати зроблені два постріли і А - влучення при першому пострілі, В - влучення при другому пострілі, то А + В - влучення при першому пострілі, чи при другому, чи в обох пострілах.

Зокрема, якщо дві події А і В - несумісні, то А+В - подія, що полягає в появі одної з цих подій, байдуже якої.

Сумою декількох подій називають подію, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Наприклад, подія А+В+С полягає в появі одної з наступних подій: А, В, С, А і В, А і С, В і С, А і В і С.

2.1. Ймовірність суми несумісних подій

Нехай події А и В – несумісні, причому ймовірності цих подій відомі. Як знайти ймовірність того, що наступить або подія А, або подія В? Відповідь на це питання дає теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доведення. Введемо позначення: n - загальне число можливих елементарних результатів випробування; m₁ - число результатів, що сприяють події А; m₂ - число результатів, що сприяють події В.

Число елементарних результатів, що сприяють настанню або події А, або події В, дорівнює m₁+m₂. Отже,

P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n.

Прийнявши до уваги, що m_l/n = P(A) і m₂/n=P(B)остаточно одержимо

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Наслідок. Ймовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А₁+А₂+...+А_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n).

Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Так як розглянуті події попарно несумісні, то поява одної з трьох подій, А, В і С, рівносильна настанню однієї з двох подій, А+В і С, тому в силу зазначеної теореми

Р(А+В+С)=P[(A+B)+C]=P(A+B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C).

Приклад 1. В урні знаходиться 30 куль: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кулі.

Рішення. Поява кольорової кулі означає появу червоної, або синьої кулі.

Ймовірність появи червоної кулі (подія А)

Р(А)=10/30.

Ймовірність появи синьої кулі (подія В)

Р(В)=5/30=1/6.

Події А и В несумісні (поява кулі одного кольору виключає появу кулі іншого кольору), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1/3+ 1/6=1/2.

Приклад 2. Стрілець стріляє по мішені, розділеній на 3 області. Ймовірність влучення в першу область дорівнює 0,45, у другу - 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі влучить або в першу, або в другу область.

Рішення. Події А – «стрілець влучив у першу область» і В «стрілець влучив у другу область» - несумісні (влучення в одну область виключає влучення в іншу), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,45+0,35=0,80.