Лекція 4. Метод Ньютона

Якщо

f (x), f ' (x) і f '' (x) безперервні в околиці кореня, цю додаткову

інформацію про властивості функції

f (x) можна використати для побудови

алгоритмів, які породжують послідовності, що сходяться до кореня швидше,

ніж при методі ділення навпіл або методі фальшивого становища. Метод

Ньютона-Рафсона (або просто Ньютона, також має назви метод дотичних і

метод лінеаризації) є одним з найбільш корисних і найвідоміших алгоритмів, у

якому використається безперервність

f ' (x)

і f '' (x). Він швидко сходиться

(має квадратичну збіжність) і допускає різні модифікації, пристосовані для

рішення векторних задач і інших рівнянь. Однак, цей метод ефективний при

досить твердих обмеженнях на характер функції

f (x):

1. існування другій похідній функції f (x) на множині G ={a ≤ x ≤ b};

2. задоволення першої похідної умові

f ' (x)≠ 0 для всіх x G ;

3. знакопостійність

f ' (x), f '' (x) для всіх x G .

Геометрична інтерпретація методу Ньютона полягає в наступному.

Задається

початкове наближення x(0) . Далі

проводиться

дотична до кривої

y = f (x)

в крапці

x(0) (рис. 4.1), тобто крива заміняється прямою лінією. Як

наступне наближення вибирається крапка перетинання цій дотичній з віссю

абсцис. Процес побудови дотичних і знаходження крапок перетинання з віссю

абсцис повторюється доти, поки приріст не стане менше заданої величини ε .

f (x(0) )

В

a

C

A

α

b

0

x*

x(2)

x(1)

x(0)

Рис. 4.1

Геометричні побудови для методу Ньютона

f (x(0) )− 0

= f ' (x

(0)

)≡ tgα

(4.1)

x

(0)

− x

(1)

де α - кут нахилу дотичній у крапці (x(0) , f (x(0) )) до осі абсцис.

Дозволяючи це співвідношення відносно

x(1), одержуємо:

x

(1)

= x

(0)

−

f (x(0) )

(4.2)

f ' (x(0) )

Повторюючи процес, знаходимо загальну формулу:

x

(k

+1)

= x

(k )

−

f (x(k )

)

, де k = 0,1,2,...

(4.3)

f ' (x(k ) )

x = x −

f (x)

≡ϕ(x)

(4.4)

f ' (x)

x(k+1) = x(k ) +δ (k ) , де k = 0,1,2,...

(4.5)

Припускаючи,

що

f (x) має

безперервну

другу

похідну,

розкладемо

f (x(k ) +δ (k ) )

по формулі Тейлора щодо крапки x(k ) :

f (x(k ) +δ

(k ) )= f (x(k ) )+δ (k ) f ' (x(k ) )+

(δ (k ) )2

f "(ξ )

(4.6)

де ξ (x(k ) , x(k+1) )

2

. З огляду

на, що f (x(k ) +δ (k ) )= 0 (це

відповідає

f (x(k ) )+δ (k ) f ' (x(k ) )= 0

(4.7)

Звідси виражається виправлення δ

(k )

= −

f (x(k ) )

Підставляючи δ

(k )

.

в

f ' (x(k ) )

(0)

x

a, если f (a) f "(a)> 0

(4.8)

=

f (a) f "(a)< 0

b, если

f ' (x) і f "(x):

2) Із графічної аналогії методу ясна вимога збереження знаків

Нехай виконуються наступні умови:

1.

Функція

f (x) визначена й двічі дифференцируема на ділянці [a,b].

2.

Відрізку

[a,b]

належить

тільки один

простий

корінь

x* ,

так що

f (a) f (b)< 0 .

f "(x) на [a,b]

3.

Похідні

f ' (x),

зберігають знак, і

f ' (x)≠ 0 .

4.

Початкове наближення

x(0)

задовольняє

нерівності

f (x(0) ) f "(x(0) )> 0

(знаки функцій f (x) і

f "(x) в крапці x(0)

збігаються).

Тоді за допомогою методу Ньютона (4.3) можна обчислити корінь

рівняння

f (x)= 0 з будь-якою точністю ε .

Методика рішення задачі

1. Задати

)

початкове

наближення

x(0)

так, щоб

виконувалася нерівність

f (x(0)

f "(x(0)

)> 0 , а також рисе позитивне число ε . Покласти k = 0 .

2. Обчислити x

(k+1)

по формулі x

(k

+1)

= x

(k )

−

f (x(k ) )

.

f ' (x(k ) )

3. Якщо

x(k+1) − x(k )

≤ ε ,

процес

завершити

й покласти x

x(k+1) ,

інакше

*

покласти k = k + 1 й перейти до пункту 2.