до якої можна застосувати метод ітерацій.

Метод Зейделя

Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію методу ітерацій. Основна ідея методу полягає в тому, що при обчисленні (k + 1)-го наближення

невідомої xi враховувати вже обчислені (k + 1)-е наближення невідомих

x1 , x2 ,...,xi−1 .

Нехай дана наведена система лінійних рівнянь:

j=1

Вибираємо початкове наближення (розумне): x1(0) , x2(0) ,..., xn(0)

Далі припускаючи, що k -е наближення відомо, будемо будувати (k + 1)-е наближення корінь по наступних формулах:

j=1

Або в розгорнутому виді:

x1(k+1) =α11 x1(k ) +α12 x2(k ) +α13 x3(k ) + ...+α1n xn(k ) + β1

x2(k+1) =α21 x1(k+1) +α22 x2(k ) +α23 x3(k ) + ...+α2n xn(k ) + β2

(2.8)

x3(k+1) =α31 x1(k+1) +α32 x2(k+1) +α33 x3(k ) + ...+α3n xn(k ) + β3

M

xn(k+1) =αn1 x1(k+1) +αn2 x2(k+1) +αn3 x3(k+1) + ...+αnn−1 xn(k−+11) +αnn xn(k ) + βn

20

Відзначимо, що зазначена вище теорема збіжності для методу ітерацій залишається вірної й для методу Зейделя.

Звичайно, але не завжди, метод Зейделя дає кращу збіжність Приклад 3. Методом Зейделя вирішити систему рівнянь:

10 x1 + x2 + x3 = 122 x1 + 10 x2 + x3 = 13

2 x1 + 2 x2 + 10 x3 = 14

Приведемо систему до виду, зручному для ітерацій:

x1 = 1,2 − 0,1 x2 − 0,1 x3x2 = 1,3 − 0,2 x1 − 0,1 x3x3 = 1,4 − 0,2 x1 −0,2 x2

Як нульові наближення корінь візьмемо:

Застосовуючи метод Зейделя послідовно одержимо: Перший крок:

x1 = 1,2 − 0,1 0 − 0,1 0 = 1,2

x2 = 1,3 − 0,2 1,2 − 0,1 0 = 1,06

x3 = 1,4 − 0,2 1,2 − 0,2 1,06 = 0,948

Другий крок:

x1 = 1,2 − 0,1 1,06 − 0,1 0,948 = 0,9992

x2 = 1,3 − 0,2 0,9992 − 0,1 0,948 = 1,00536

x3 = 1,4 − 0,2 0,9992 − 0,2 1,00536 = 0,999098

і т.д.

Результати обчислень із точністю до чотирьох знаків наведені в таблиці 2.2

Таблиця 2.2 Обчислення рішення системи лінійних рівнянь методом Зейделя

Приклад розрахунку представлений на рис. 2.1

21