Додатка
Додаток 1.
Короткі відомості по роботі з матрицями в MS Excel
Як і над числами, над матрицями можна проводити ряд операцій, причому у випадку з матрицями деякі з операцій є специфічними.
Транспонування
Транспонованої називається матриця (AT ), у якій стовпці вихідної матриці (A) заміняються рядками з відповідними номерами.
У скороченому записі, якщо A = (aij ), те AT = (aji ). |
|
|
||||||||
3 |
−7 |
11 |
|
3 18 |
−5 |
|
||||
|
18 |
19 |
39 |
|
T |
|
−7 |
19 |
91 |
|
A = |
|
A |
= |
|
||||||
|
−5 |
91 |
87 |
|
|
|
11 |
39 |
87 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Транспонуванням називається операція переходу від вихідної матриці (A) до транспонованого (AT ).
З визначення транспонованої матриці треба, що якщо вихідна матриця A
має розмір m ×n , те транспонована матриця AT має розмір n ×m .
Для здійснення транспонування в Excel використається функція ТРАНСП, що дозволяє поміняти орієнтацію масиву на робочому аркуші з вертикальної на горизонтальну й навпаки.
Функція має вигляд ТРАНСП (масив). Тут масив – це транспонируемый масив або діапазон осередків на робочому аркуші. Транспонування масиву полягає в тім, що перший рядок масиву стає першим стовпцем нового масиву, другий рядок масиву стає другим стовпцем нового масиву й т.д. Розглянемо це на прикладі.
Приклад 1. Припустимо, що в діапазон осередків А1:Е2 уведена матриця
розміру 2 ×5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
A = |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
|
|||||
Необхідно одержати транспоновану матрицю.
Рішення
1.Виділите (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці) блок осередків під транспоновану матрицю ( 5 × 2 ). Наприклад, А4:В8.
2.Натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції.
3.У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій у робочому полі Категорія виберіть Посилання й масиви, а в робочому полі Функція - ім'я функції ТРАНСП (рис. П1.1). Після цього клацніть на кнопці ОК.
58
Рис. П1.1 Приклад вибору функції в діалоговому вікні Майстер функцій
4. діалогове вікно, Що З'явилося, ТРАНСП мишею відсуньте убік від вихідної матриці й уведіть діапазон вихідної матриці А1:Е2 у робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці). Після чого натисніть сполучення клавіш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. П1.2).
Рис. П1.2. Приклад заповнення діалогового вікна ТРАНСП
5.Якщо транспонована матриця не з'явилася в діапазоні А4:В8, то варто клацнути покажчиком миші в рядку формул і повторити натискання CTRL+SHIFT+ENTER. У результаті в діапазоні А4:В8 з'явиться транспонована матриця:
59
|
1 |
6 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
||
A = |
|
3 |
8 |
|
|
|
|||
|
|
4 |
9 |
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
||
Обчислення визначника матриці
Важливою характеристикою квадратних матриць є їхній визначник. Визначник матриці – це число, що обчислює на основі значень елементів
масиву. Визначник матриці A позначається як A або .
Визначником матриці першого порядку A = (a11 ), або визначником першого порядку, називається елемент a11 .
1 = A = a11
Визначником матриці другого порядку A = (aij ), або визначником другого порядку, називається число, що обчислюється по формулі:
2 = |
|
A |
|
a |
11 |
a |
12 |
|
= a11 a22 |
− a12 a21 |
|
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
Добутку a11 a22 й |
|
a12 a21 |
називаються членами визначника другого |
|||||||
порядку.
З ростом порядку матриці n різко збільшується число членів визначника ( n! ). Наприклад, при n = 4 маємо 24 доданків. Існують спеціальні правила, що полегшують обчислення визначників вручну, ураховуються властивості визначників і т.п. При застосуванні комп'ютера у використанні цих прийомів немає необхідності.
В MS Excel для обчислення визначника квадратної матриці використається функція МОПРЕД.
Функція має вигляд МОПРЕД(масив).
Тут масив – це числовий масив, у якому зберігається матриця з рівною кількістю рядків і стовпців. При цьому масив може бути заданий як інтервал осередків, наприклад, А1:СЗ; або як масив констант, наприклад,
{1,2,3,4,5,6,7 ,8,9}. Для масиву А1:СЗ, що складає із трьох рядків і трьох
стовпців (матриця розміром 3 × 3 ), визначник обчислюється в такий спосіб:
(A1 : C 3)= A1 (B2 C 3 − B3 C 2)+ A2 (B3 C1 − B1 C3)+ + A3 (B1 C 2 − B2 C1)
Розглянемо приклад знаходження визначника матриці.
Приклад 2. Припустимо, що в діапазон осередків А1:СЗ уведена матриця:
60
1 |
2 |
3 |
||
|
0 |
2 |
3 |
|
A = |
|
|||
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
Необхідно обчислити визначник цієї матриці.
Рішення
1.Табличний курсор поставте в осередок, у якій потрібно одержати значення визначника, наприклад, в А4.
2.Натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції.
3.У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій у робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція - ім'я функції МОПРЕД. Після цього клацніть на кнопці ОК.
4.Появившееся діалогове вікно МОПРЕД мишею відсуньте убік від вихідної матриці й уведіть діапазон вихідної матриці А1:СЗ у робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці). Натисніть кнопку ОК (рис.
П1.3).
Рис П1.3. Приклад заповнення діалогового вікна МОПРЕД
В осередку А4 з'явиться значення визначника матриці – 6.
Знаходження зворотної матриці
Для кожного числа a ≠ 0 існує обернене число a−1 й для квадратних матриць уводиться аналогічне поняття. Зворотні матриці звичайно використаються для рішення систем рівнянь із декількома невідомими.
Матриця A−1 називається зворотної стосовно квадратної матриціA , якщо при множенні цієї матриці на дану як ліворуч, так і праворуч виходить одинична матриця:
A× A−1 = A−1 × A = E
Як треба з визначення, зворотна матриця є квадратної того ж порядку, що й вихідна матриця.
Необхідною й достатньою умовою існування зворотної матриці є невырожденность вихідної матриці. Матриця називається невырожденной або
61
неособливої, якщо її визначник відмінний від нуля (); у противному випадку (при A = 0 ) матриця називається вырожденной або особливої.
Існують спеціальні досить складні алгоритми для ручного обчислення зворотних матриць.
Як приклад того, як обчислюється зворотна матриця, розглянемо квадратну матрицю другого порядку
a |
b |
A = |
|
c |
d |
Тоді зворотна матриця обчислюється в такий спосіб:
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
(a d − b c) |
(b c − a d ) |
|||
A−1 = |
c |
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(b c − a d ) |
|
(a d − b c) |
В MS Excel для знаходження зворотної матриці використається функція МОБР, що обчислює зворотну матрицю для матриці, що зберігається в таблиці у вигляді масиву.
Функція має вигляд МОБР(масив).
Тут масив – це числовий масив з рівною кількістю рядків і стовпців. Масив може бути заданий як діапазон осередків, наприклад А1:СЗ; як масив
констант, наприклад {1,2,3,4,5,6 ,7 ,8,9} або як ім'я діапазону або масиву.
Розглянемо приклад знаходження зворотної матриці.
Приклад 3. Нехай у діапазон осередків А1:СЗ уведена матриця
1 |
2 |
3 |
||
|
0 |
2 |
3 |
|
A = |
|
|||
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
Необхідно одержати зворотну матрицю.
Рішення
1.Виділите блок осередків під зворотну матрицю, наприклад, блок осередків А5:З7 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці).
2.Натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції. У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій у робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція - ім'я функції МОБР. Клацніть на кнопці ОК.
3.Появившееся діалогове вікно МОБР мишею відсуньте убік від вихідної матриці й уведіть діапазон вихідної матриці А1:СЗ у робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці).
4.Натисніть сполучення клавіш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. П1.4).
62