Лекція 6. Метод Сімпсона

уточнення для

відрізка,

що

містить

вузли

x0 ,

x1 , x2 ,

одержимо

формулу

Сімпсона.

1

F ≈

4 F (h)− F (2 h)

=

3

трап

трап

1

1

1

1

1

=

4 h

f0

+ f1 +

f2

− 2

h

f0

+

f

2

=

(6.1)

3

2

2

2

2

=

1

h ( f0 + 4 f1 + f2 )

3

x1 +h

h

R

= ∫ ydx

−

(6.3)

3

y(x1 − h)+ 4 y(x1 )+ y(x1 + h)

x1 −h

R = R(h)

Звідси,

диференціюючи функцію

по h послідовно трьох разу,

одержимо:

1

′

−

−

R

(h)= y(x1 + h)

+ y(x1 − h)

3

y(x1 − h)+ 4 y(x1 )+ y(x1 + h)

h

2

4

−

′

(x1

′

(x1

=

(x1 + h)

−

y(x1 )−

(6.4)

3

−y

− h)+ y

+ h)

3

y

+ y(x1 − h)

3

−

h

′

(x1

′

(x1

3

−y

− h)+ y

+ h)

2

1

′′

(h)=

′

(x1 − h)+

′

(x1 + h)

′

(x1

′

−

−

R

3

−y

y

3

−y

− h)+ y

(x1 + h)

−

h

′′

(x1 − h)+ y

′′

(x1

=

1

′

(x1 − h)+

′

(6.5)

3

y

+ h)

3

−y

y

(x1 + h) −

−

h

′′

(x1 − h)+ y

′′

(x1

3

y

+ h)

1

1

′′′

′′

(x1

− h)+ y

′′

(x1

′′

(x1 − h)+ y

′′

(x1

(h)=

−

R

3

y

+ h) −

3

y

+ h)

−

h

−y

′′′

(x1 − h)+ y

′′′

(x1

= −

h

′′′

(x1

− h)

+ y

′′′

(x1

+ h)

=

(6.6)

3

+ h)

3

− y

2

= −

h2 yIV (ξ3 )

3

де ξ3 (x1 − h, x1 + h).

Крім того,

маємо R(0)= 0 ; R′(0)= 0 ;

R′′(0)= 0 . Послідовно інтегруючи

R′′′(h) й використовуючи теорему про середній, знаходимо:

R′′(h)= R′′(0)+ ∫h R′′′(t )dt = −

2

∫h t 2 yIV (ξ3 )dt = −

2

yIV (ξ2 )∫h t2dt = −

2

h2 yIV (ξ2 )

(6.7)

3

3

9

0

0

0

де ξ2 (x1 − h, x1 + h).

R′(h)= R′(0)+ ∫h R′′(t )dt = −

2

∫h t3 yIV (ξ2 )dt = −

2

yIV

(ξ1 )∫h t 3dt = −

1

h4 yIV (ξ1 )

(6.8)

9

9

18

0

0

0

де ξ1 (x1 − h, x1 + h).

R(h)= R(0)+ ∫h R′(t )dt = −

1

∫h t4 yIV (ξ1 )dt = −

1

yIV (ξ )∫h t4dt = −

1

h5 yIV (ξ )

(6.9)

18

18

90

0

0

0

R = −

h5

yIV (ξ ), де ξ (x0 , x2 )

(6.10)

90

Нехай

n = 2 m є

парне

число й

yi = f (xi )

(i = 0,1,2,...,n)

значення

функції

y = f (x)

для рівновіддалених крапок

a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b із

кроком h = b − a = b − a .

n

2 m

Застосовуючи

формулу

Сімпсона

до

кожного

подвоєного

проміжку

x

, x

2

, x

2

, x

... x

2 m−

2

, x

довжини 2 h одержимо:

0

4

2 m

∫b

ydx ≈ h

(y0 + 4 y1 + y2 )

+ h (y2 + 4 y3 + y4 )+ ...+ h

(y2 m−2 + 4 y2 m−1 + y2 m )

a

3

3

3

b

Звідси одержуємо загальну (узагальнену) формулу Сімпсона:

h

+ y2 m )+ 4 (y1 + y3 + ...+

y2 m−1 )+

∫ ydx ≈

(6.11)

3

(y0

2 (y2 + y4 + ...+ y2 m−2 )

a

Або:

b

h

2 m−1

2 m−

2

∫ ydx ≈

+ y2 m )+ 4 ∑ yi нечёт.

+ 2

3

(y0

∑ yi чёт.

(6.12)

a

i=1

i=2

b

2 m−1

1,

при i − нечёт.

∫ ydx ≈ h

+ y2 m )+ ∑ (3

(6.13)

(y0

+ Ci ) yi , де C =

при i − чёт.

a

3

i=1

−1,

R = −

h5

yc IV (ξ )= −(b − a)

h4

yc IV (ξ )

(6.14)

180

90

R = −(b − a)

h4

yIV

h

180

R2h

= 16

(6.15)

(2

h)4

R

= −(b − a)

yIV

Rh

2h

180

I = Ih + Rh

Ih + Rh = I

2h + 16 Rh Rh =

I

h

− I

2h

(6.16)

I =

15

I2h + R2h