Лекція 2. Ітераційні методи
При великому числі невідомих лінійної системи схема методу Гауса, що дає точне рішення, стає досить складною. У цьому випадку доцільніше використати наближені (ітераційні) чисельні методи рішення систем лінійних рівнянь. Розглянемо два з таких методів - метод ітерацій і метод Зейделя.
Метод ітерацій
Нехай дана система рівнянь:
a |
11 |
x |
1 |
+ a |
12 |
x |
2 |
+ ...+ a |
1n |
x |
n |
= b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
a21 x1 |
+ a22 x2 |
+ ...+ a2n |
xn |
= b2 |
(2.1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........................................................ |
|
|||||||||||||||||
a |
n1 |
x |
1 |
+ a |
n2 |
x |
2 |
+ ...+ a |
nn |
x |
n |
= b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
Припускаючи, що діагональні коефіцієнти aii ≠ 0 (i = 1,2,...,n) розв'язний
перше рівняння системи (2.1) відносно x1 , друге – відносно x2 й т.д. Одержимо |
||
еквівалентну систему: |
|
|
x1 = β1 +α12 x2 +α13 x3 + ...+α1n xn |
|
|
|
= β2 +α21 x1 +α23 x3 + ...+α2n xn |
|
x2 |
(2.2) |
|
|
|
|
.................................................................. |
|
|
|
= βn +αn1 x1 +αn2 x2 + ...+αnn−1 xn−1 |
|
xn |
|
|
|
b |
aij |
при i |
≠ j й αij = 0 при i = j (i , j = 1,2,...,n). |
||||||
де βi = |
i |
, αij = − |
|
|||||||
|
aii |
|||||||||
|
aii |
|
|
|
|
|
|
|
||
Будемо вирішувати систему (2.2) методом послідовних наближень. За |
||||||||||
нульове наближення приймемо стовпець вільних членів |
x(0) = β (β1 ,β2 ,...,βn ). |
|||||||||
Нове наближення одержимо, підставляючи значення |
x(0) |
в систему (11.2). |
||||||||
Запишемо формули наближень у розгорнутому виді: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x(0) |
= β |
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
|
+ |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
xi(k |
|
1) = βi + ∑αij x(jk ) |
|
(2.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
(αii |
= 0; i = 1,...,n; k = 0,1,2,....) |
|
||||
Таким чином, одержимо послідовність наближень xi(0) , |
xi(1), xi(2) , …, xi(n) |
|||||||||
яка сходиться, якщо xi(n+1) − xin < ε . Цей метод називається методом ітерацій.
Процес ітерації добре сходиться, тобто число наближень, необхідних для одержання корінь системи (2.1) із заданою точністю є невеликим, якщо елементи матриці α рисі по абсолютній величині. Іншими словами, для успішного застосування процесу ітерації модулі діагональних коефіцієнтів
16
системи повинні бути великі в порівнянні з модулями недіагональних коефіцієнтів цієї системи (вільні члени при цьому ролі не грають).
Приклад 1. Вирішити систему методом ітерацій:
4 x1 + 0,24 x2 − 0,08 x3 = 8 |
|
|||
|
x1 |
+ 3 x2 − 0,15 x3 |
= 9 |
(2.4) |
0,09 |
||||
|
x1 |
− 0,08 x2 + 4 x3 |
= 20 |
|
0,04 |
|
|||
Діагональні коефіцієнти 4; 3; 4 системи значно переважають над іншими
коефіцієнтами при невідомих. Приведемо цю систему до нормального виду
(2.2):
x1 = 2 |
− 0,06 |
x2 + 0,02 x3 |
|
|
|
= 3 − 0,03 |
x1 + 0,05 x3 |
(2.5) |
|
x2 |
||||
|
= 5 |
− 0,01 |
x1 + 0,02 x2 |
|
x3 |
|
|||
За нульові наближення корінь системи (2.4) приймаємо:
x1(0) = 2 ; |
x2(0) = 3 ; |
x3(0) = 5 |
Підставляючи ці значення в праві частини рівнянь (2.5), одержимо перші наближення корінь:
x1(1) = 2 − 0,06 3 + 0,02 5 = 1,92x2(1) = 3 − 0,03 2 + 0,05 5 = 3,19x3(1) = 5 − 0,01 2 + 0,02 3 = 5,04
Далі, підставляючи ці знайдені наближення у формулу (2.5) одержимо другі наближення корінь:
x1(2) = 1,9094 ; |
x2(2) = 3,1944 ; |
x3(2) = 5,0446 |
Далі виконуємо третю підстановку й т.д. Результати обчислень наведені в таблиці 2.1
Таблиця 2.1 Обчислення рішення системи лінійних рівнянь методом ітерацій
k |
x1(k ) |
x2(k ) |
x3(k ) |
0 |
2 |
3 |
5 |
1 |
1,92 |
3,19 |
5,04 |
2 |
1,9094 |
3,1944 |
5,0446 |
3 |
1,90923 |
3,19495 |
5,04485 |
Зауваження: При застосуванні методу ітерацій немає необхідності за нульове наближення приймати стовпець вільних членів. Метод ітерації володіє тим властивістю, що якщо він сходиться, то сходиться при будь-якім початковому наближенні. Причому, що сходиться процес ітерації має важливу властивість самокорекції, тобто окрема помилка в обчисленнях не відіб'ється
17
на кінцевому результаті, тому що помилкове наближення можна розглядати як новий початковий вектор і процес як би починається знову.
Зауваження про точність розрахунку
Якщо всі коефіцієнти й вільні члени системи є точними числами, то рішення її методом послідовних наближень може бути отримане з будь-яким заздалегідь заданим числом m вірних десяткових знаків. При цьому в значеннях послідовних наближень варто втримувати m + 1 десяткових знаків і послідовні наближення обчислювати до їхнього збігу, після чого потрібно округляти результат на один знак. Якщо коефіцієнти й вільні члени системи є наближеними числами, написаними зі p знаками, то рішення цієї системи
виробляється, як у випадку точних чисел, з точністю до m = p знаків.
Достатня умова Теорема. Якщо для наведеної системи (2.2) виконане хоча б одне з умов:
|
n |
|
|
|
||
1) |
∑ |
|
αij |
|
< 1 |
(i = 1,2,...,n) |
|
|
|||||
або |
j=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
2) |
∑ |
|
αij |
|
< 1 |
( j = 1,2,...,n) |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
те процес ітерації сходиться до єдиного рішення цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.
Наслідок. Для системи (2.1) метод ітерацій сходиться, якщо виконані нерівності:
|
n |
|
|
aii |
> ∑ |
aij |
(i = 1,2,...,n) |
|
i=1 |
|
|
|
( j≠i ) |
|
|
т.ч. якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів рядка (не вважаючи вільних членів).
Приведення лінійної системи до виду зручному для ітерації.
Система приводиться до необхідного виду (задовольняючій умові теореми) у такий спосіб. З рівнянь системи вибираються такі рівняння, для яких діагональні елементи цих рівнянь, поставлених на відповідне місце, були б більше суми інших коефіцієнтів. рівняння, Що Залишилися (які не задовольняють таким вимогам) приводяться до необхідного виду за допомогою лінійних перетворень. Перетворюються лінійною комбінацією так, щоб кожне з них утворило одне з відсутніх рівнянь системи. Покажемо дані положення на прикладі.
Приклад 2. Привести систему до виду, придатному для застосування методу ітерацій.
18
|
2 x1 + 3 x2 − 4 x3 + x4 = 3 |
|||
|
|
− 2 x2 |
− 5 x3 |
+ x4 = 3 |
x1 |
||||
|
|
|
|
− 4 x4 = 1 |
5 x1 − 3 x2 + x3 |
||||
|
|
x1 + 2 |
x2 − x3 + 2 x4 = −4 |
|
10 |
||||
(A) (Б) (B) (Г)
У рівнянні (Б) коефіцієнт при x3 по модулі більше суми модулів інших
коефіцієнтів, тому можна прийняти це рівняння за третє рівняння в перетвореній системі. Коефіцієнт при x1 в рівнянні (Г) також більше суми
модулів інших коефіцієнтів, тому можна прийняти це рівняння за перше рівняння перетвореної системи. Таким чином, нова система має вигляд:
10 |
x1 + 2 |
x2 − x3 + 2 |
x4 = −4 |
(I ) |
|
|
|
|
(II ) |
........................................ |
|
|
......... |
|
|
− 2 x2 |
− 5 x3 + x4 |
= 3 |
(III ) |
x1 |
||||
|
|
|
|
(IV ) |
........................................ |
|
|
........ |
Аналізуючи дану систему, можна помітити, що для одержання рівняння (II ) з максимальним по модулі коефіцієнтом при x2 досить скласти різницю
(A)− (Б):
x1 + 5 x2 + x3 + 0 x4 = 1 |
(II ) |
Тепер у нову систему ввійшли рівняння (A), (Б), (Г), тому в рівняння |
|
(IV ) обов'язково повинне ввійти рівняння (B) вихідної системи. Підбором |
|
переконуємося, що за рівняння (IV ) можна |
взяти лінійну комбінацію: |
2 (A)− (Б)+ 2 (В)− (Г), тобто
3 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 9 x4 = 10 |
(IV ) |
||
Таким чином, перетворена система отримана при наступних |
|||
перетвореннях: |
|
|
|
(I ) |
|
(Г) |
|
(II ) |
(А)− (Б) |
|
|
(III ) |
|
(В) |
|
(IV ) |
|
2 (A)− (Б)+ 2 (В)− (Г) |
|
Упідсумку одержимо перетворену систему рівнянь, еквівалентну вихідній
ізадовольняючій умовам збіжності процесу ітерацій. Дозволивши отриману систему щодо діагональних невідомих, одержимо систему
19