Тема 2. Методи рішення нелінійних рівнянь1

Лекція 3. Метод половинного ділення

Наближене рішення нелінійних рівнянь

Для досить складних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь не завжди можна знайти точне рішення, тому дуже часто доводиться застосовувати наближені (чисельні) методи знаходження корінь таких рівнянь.

Нехай дане нелінійне рівняння

Де f (x) – функція певна й безперервна на якімсь (навіть нескінченному) інтервалі a < x < b. У деяких випадках на функцію f (x) можуть бути

накладені додаткові обмеження, наприклад, безперервність першої й другої похідних, що спеціально обмовляється.

Потрібно знайти корінь рівняння (3.1). Т. е. Числаx*1 , x*2 ,..., які шляхом підстановки їх в (3.1) перетворюють рівняння у вірну числову рівність. Числа x*1 , x*2 ,... також називаються нулями функції f (x).

Визначення 1 коренем рівняння (3.1) називається значення x = x* , що обертає функцію f (x) в нуль, тобто f (x* )≡ 0 .

Визначення 2 ізольований корінь – це значення x , що задовольняє (3.1) і не утримуючих інших корінь у своїй околиці.

Умова існування кореня рівняння (3.1) треба з теореми:

Якщо безперервна функція f (x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [a,b], тобто f (a) f (b)< 0 , то усередині цього відрізка втримується, принаймні, один корінь рівняння f (x)= 0 . Виходить, найдеться хоча б одне число x* (a,b) таке, що f (x* )= 0 . Якщо ж f (x) безперервна й диференцуєма і її перша похідна зберігає знак усередині відрізка [a,b], то на

даному відрізку перебуває тільки один (ізольований) корінь x = x* рівняння.

Таким чином, при знаходженні корінь рівняння (3.1) чисельним методом, крім безперервності f (x) передбачається:

1.Функція приймає на кінцях відрізка різні знаки;

2.Похідні f ' (x) й f "(x) безперервні на відрізку;

3.Похідні на відрізку не міняють знака.

Геометрично остання умова означає, що передбачається одна із чотирьох схем (рис. 3.1).

1 В приложении 2 рассмотрены способы решения уравнений с помощью итерационных методов

23

Зауваження 1: якщо відомі коріння рівняння f ' (x)= 0 , то процес відділення корінь можна спростити. Для цього досить визначити знаки функції f (x) в крапках нулів її похідній f ' (x)= 0 і граничним крапкам визначення функції x = a й x = b .

Зауваження 2: дійсних корінь рівняння f (x)= 0 можна відокремити приблизно, як крапки перетинання графіком y = f (x) осі абсцис.

Цей метод зручний своєю наочністю, але при обчисленнях вручну ним не завжди можна скористатися, оскільки:

1. f (x) являє собою функцію, графік якої побудувати складно (наприклад, y = ex + sin x ).

2. Обмеженість розмірів креслення дозволяє знайти корінь тільки в деякому обмеженому проміжку.

Перший недолік можна усунути, якщо вдається записати вихідне рівняння f (x)= 0 у вигляді ϕ(x)= g(x), при якому y =ϕ(x) й y = g(x) побудувати значно простіше. Тоді корінь рівняння перебувають як абсциси крапок

Рис. 3.2. Рішення рівняння x ln x = 1.

Достоїнством графічного методу (крім його наочності) є те, що часто він дає можливість оцінити кількість корінь і їхні знаки.

Перейдемо до другого етапу чисельного рішення рівнянь - уточненню корінь до потрібної точності. На цьому етапі застосовують кілька методів.

25

Метод половинного ділення

Інакше цей метод називають метод Больцано ділення навпіл або метод бісекцій.

Нехай дане рівняння f (x)= 0 , є відрізок [a,b] ізоляції кореня x* для даного рівняння, f (x) безперервна на відрізку [a,b]. Тоді графік функції

Відрізок [a,b], у цьому випадку, називається початковим інтервалом

невизначеності, тому що відомо, що корінь йому належить, але його місце розташування з необхідною точністю не визначено.

Основна ідея методу бісекцій: ділимо відрізок ізоляції навпіл і вибираємо ту половину, де функція міняє знак, одержуємо новий відрізок ізоляції, довжина якого у два рази менше попереднього. Цю процедуру повторюємо доти, поки довжина відрізка ізоляції не стане менше заданої точності. Розглянемо це більш докладно.

позначимо цей відрізок a1 ;b1 . Довжина цього відрізка: b1 − a1 = b −2 a .

Відрізок a1 ;b1 знову ділимо навпіл і вибираємо новий відрізок a2 ;b2 аналогічно. Будуємо послідовність відрізків an ;bn , кожний з яких удвічі

значення кореня (на практиці виходить досить рідко).

2.Або на деякому кроці одержимо відрізок ізоляції an ;bn , довжина якого менше необхідної точності:

Ліві кінці відрізків утворять монотонну неубутну послідовність an , а праві

– bn , утворять монотонну незростаючу послідовність. Отже, ці послідовності

26

мають той самий межу x* :

x* = lim an = lim bn

n→∞ n→∞

Підставляючи x* в (3.2) перейдемо до межі. Одержимо

lim f (an ) f (bn )= f (x* ) f (x* )< 0 .

n→∞

Це протиріччя, значить f (x* )= 0 .

Тому що корінь належить відрізку ізоляції an ;bn . ТЕ в цьому випадку,

будь-яке число із цього відрізка відрізняється від точного значення кореня менше, ніж на ε . Числа an і bn є наближеними значеннями шуканого кореня з

недоліком і надлишком відповідно. Звичайно беруть як відповідь число із середини останнього відрізка ізоляції:

Тому що щораз довжина відрізка зменшується у два рази, то по досягненні

Основним достоїнством методу бісекцій є надійність, стійкість до помилок округлення, відсутність обмежень на вид функції f (x) (потрібно тільки

безперервність). Головний недолік – повільна збіжність до точного рішення. На практиці метод бісекцій використають у комбінації з яким-небудь

швидкозходящимся методом: методом бісекцій спочатку грубо визначають початкове наближення, а потім застосовують швидкозходящийся метод (наприклад, методНьютона).

Приклад реалізації методу половинного ділення в середовищі Microsoft Excel представлена на рис. 3.3.

27