Рис П1.4. Приклад заповнення діалогового вікна МОБР
5.Якщо зворотна матриця не з'явилася в діапазоні А5:З7, то варто клацнути покажчиком миші в рядку формул і повторити натискання
CTRL+SHIFT+ENTER.
Урезультаті в діапазоні А5:З7 з'явиться зворотна матриця:
|
1 |
-1 |
0 |
|
|
0,5 |
0 |
-0,5 |
|
|
|
|||
|
-0,33333 |
0,33333 |
0,33333 |
|
|
|
Додавання й вирахування матриць
Складати (віднімати) можна тільки матриці одного розміру. Сумою |
|||||||
матриць |
A = (aij ) |
і B = (bij ) |
розміру |
m ×n називається матриця C = A + B , |
|||
елементи |
якої cij |
= aij + bij |
для |
i = 1,2,...,m ; |
j = 1,2,...,n (тобто матриці |
||
складаються поэлементно). Наприклад, якщо: |
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
A = |
9 |
− 1 |
; |
|
|
|
|
|
13 |
|
||
|
|
|
0 |
|
− 4 |
− 3 |
|
|
|
B = |
|
19 |
31 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
те C = A + B : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 0 |
2 − 4 7 − 3 |
1 |
− 2 |
4 |
|||||
C = |
9 |
+ 5 |
− 1 + 19 13 + 31 |
|
= |
14 |
18 |
44 |
|
|
|
|
|
||||||
В окремому випадку A + 0 = A .
Аналогічно визначається різниця двох матриць C = A − B .
В MS Excel для виконання операцій підсумовування й вирахування матриць можуть бути використані формули, що вводять у відповідні осередки.
63
Приклад 4. Нехай матриця A з розглянутого приклада, уведена в діапазон А1:З2, а матриця B – у діапазон А4:З5. Необхідно знайти матрицю C , що є їхньою сумою.
Рішення
1.Табличний курсор установите в лівий верхній кут результуючої матриці, наприклад в А7.
2.Уведіть формулу для обчислення першого елемента результуючої матриці =А1 + А4 (попередньо встановивши англійську розкладку клавіатури).
3.Скопіюйте уведену формулу в інші осередки результуючої матриці: установите табличний курсор в осередок А7; наведіть покажчик миші на крапку в правому нижньому куті осередку, так щоб покажчик миші прийняв вид тонкого хрестика; при натиснутій лівій кнопці миші простягніть покажчик до осередку З7; потім так само простягніть покажчик миші до осередку З8.
Урезультаті в осередках А7:З8 з'явиться матриця, рівна сумі вихідних матриць.
Подібним же чином обчислюється різниця матриць, тільки у формулі для обчислення першого елемента замість знака + ставиться знак -.
C = A + B = |
|
1 |
− 2 |
4 |
|
|
14 |
18 |
|
|
|
|
|
44 |
|
||
1 |
|
6 |
10 |
||
C = A − B = |
4 |
|
− 20 |
− 18 |
|
|
|
|
|||
Множення матриці на число
Добутком матриці A на число k
якої bij = k aij для i = 1,2,...,m ; j =
називається матриця B = k A, елементи 1,2,...,n . Інакше кажучи, при множенні
матриці на постійну кожний елемент цієї матриці множиться на цю постійну: k Aij = (k aij ).
Наприклад, для матриць A і B з попереднього параграфа:
|
1 |
0,5 |
1 |
3,5 |
|
|
|
A = |
|
|
|
|
; |
||
2 |
|
− 0,5 |
6,5 |
||||
4,5 |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
8 |
6 |
|
|
−2 B = |
−10 |
− 38 |
− 62 |
|
|||
|
|
|
|
||||
Зокрема, добуток матриці A на число 0 є нульова матриця, тобто0 A = 0 . В MS Excel для виконання операції множення матриці на число можуть
бути використані формули, що вводять у відповідні осередки.
Приклад 5. Нехай, як і в попередньому параграфі (приклад 4) матриця A уведена в діапазони А1:З2. Необхідно одержати матрицю C = 3 × A.
64
Рішення
1.Табличний курсор поставте в лівий верхній кут результуючої матриці, наприклад в Е1.
2.Уведіть формулу для обчислення першого елемента результуючої матриці =3*А1 (попередньо встановивши англійську розкладку клавіатури).
3.Скопіюйте уведену формулу в інші осередки результуючої матриці: поставте табличний курсор в осередок Е1; наведіть покажчик миші на крапку в правому нижньому куті осередку, так щоб покажчик миші прийняв вид тонкого хрестика; при натиснутій лівій кнопці миші простягніть покажчик до осередку G1; у такий же спосіб простягніть покажчик миші до осередку G2.
Урезультаті в осередках E1:G2 з'явиться матриця, рівна вихідній матриці, помноженої на постійну – 3.
|
3 |
6 |
21 |
|
3 A = |
27 |
− 3 |
39 |
|
|
|
|||
Множення матриць
Добуток матриць визначений, якщо число стовпців першої матриці
дорівнює числу рядків другий. |
|
|
|
|
|
||
Нехай |
A = (aij )m ×n , B = (bij )n × p , тоді |
розмірність добутку A× B |
|||||
дорівнює m × p . |
|
|
|
|
|
|
|
При цьому матриця C (розміру m × p ) називається добутком матриць A і |
|||||||
B , якщо кожний її елемент cij |
дорівнює сумі добутків елементів i -й рядка |
||||||
матриці A на відповідні елементи j -го стовпця матриці B : |
|
||||||
cij = ai 1 b1 j |
+ ai 2 |
b2 j + ...+ aip bpj = ∑p |
aik bkj ; |
|
i = 1,2,...,m ; |
j = 1,2,...,n . |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
Таким чином, перемножування матриць здійснюється за наступним |
|||||||
правилом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 стр 1 стб |
1 стр 2 стб |
L |
1 стр p стб |
|
||
|
|
2 стр 1 стб |
2 стр 2 стб |
L |
2 стр p стб |
|
|
C = A B = |
|
||||||
|
|
L |
L |
L |
L |
|
|
|
|
|
m стр 1 стб |
|
|
|
|
|
m стр 1 стб |
L m стр p стб |
|||||
Нехай, наприклад,
65
|
1 |
3 |
4 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
C = A B = |
|
3 2 0 |
−1 |
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
−1 2 |
|
|||||
|
|
|
|
12 |
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 1 + 3 2 + 4 10 + 2 12 |
1 3 + 3 2 + 4 0 + 2 (−1) |
71 |
7 |
|
|
|
3 1 + 2 2 + 0 10 − 1 12 |
|
|
−5 14 |
|
|
= |
3 3 + 2 2 + 0 0 − 1 (−1) |
= |
|
|||
|
|
|
|
16 |
1 |
|
|
0 1 + 1 2 − 1 10 + 2 12 0 3 + 1 2 − 1 0 + 2 (−1) |
|
|
|||
Багато властивостей, властивим операціям над числами, справедливі й для операцій множення матриць (що треба з визначень цих операцій).
Для матриць вірні загальні властивості операції множення:
1.A (B C )= (A B) C – ассоциативность.
2.A (B + C )= A B + A C – дистрибутивность.
3.(A + B) C = A C + B C .
4.(α A) B = A (α B)=α (A B), α – константа.
Однак є й специфічні властивості операцій множення матриць.
5.Множення матриць не коммутативно – A B ≠ B A.
Вокремому випадку комутативним законом володіє добуток будь-якої квадратної матриці A n-го порядку на одиничну матрицю E того ж порядку, причому цей добуток дорівнює A .
6.Якщо E – одинична матриця, то E A = A; B E = B .
Таким чином, одинична матриця грає при множенні ту ж роль, що й число 1 при множенні чисел.
7. З того, що A B = 0 , не треба, що A = 0 або B = 0 .
В алгебрі матриць немає дії ділення. Вираження A / B не має змісту. Його
заміняють два різних вираження B−1 A і A B−1 якщо існує B−1 . Для квадратних матриць можлива операція піднесення в ступінь. По
визначенню думають, що A0 = E й A1 = A . Цілим позитивним ступенем Am (m > 1) квадратної матриці A називається добуток m матриць, рівних A , тобто:
Am = A A ... A
14243
m раз
Для знаходження добутку двох матриць в Excel використається функція МУМНОЖ, що обчислює добуток матриць (матриці зберігаються в масивах).
Функція має вигляд МУМН0Ж(масив1;масив2). Тут масив1 і масив2 –
масиви, що перемножують це. При цьому кількість стовпців аргументу масив1 повинне бути таким же, як кількість рядків аргументу масив2, і обидва масиви повинні містити тільки числа. Результатом є масив з таким же числом рядків, як масив1 і з таким же числом стовпців, як масив2.
66
Массивий C , котрий є добутком двох масивів A і B , визначається в такий спосіб: C = (∑aij bij ), де i – номер рядка, a j – номер стовпця.
Приклад 6. Нехай матриця A з розглянутого приклада уведена в діапазон A1:D3, а матриця B – у діапазон А4:В7. Необхідно знайти добуток цих матриць C .
Рішення:
1.Виділите блок осередків під результуючу матрицю. Для цього потрібно знайти розмір твору-матриці-добутку. Її розмірність буде m × p , у даному прикладі 3 × 2 . Наприклад, виділите блок осередків F1:G3 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці).
2.Натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції.
3.У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій у поле Категорія виберіть Математичні, а в поле Функція - ім'я функції МУМНОЖ. Після цього клацніть на кнопці ОК.
4.Появившееся діалогове вікно МУМНОЖ мишею відсуньте убік від вихідних матриць і введіть діапазон вихідної матриці A – A1:D3 у робоче поле Масив1 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці B – А4:В7 уведіть у робоче поле Масив2 (рис. П1.5). Після цього натисніть сполучення клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.
Рис. П1.5. Приклад заповнення робітників полів діалогового вікна МУМНОЖ
5.Якщо добуток матриць A× B не з'явилося в діапазоні F1:G3, то варто клацнути покажчиком миші в рядку формул і ще раз нажати комбінацію клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.
Урезультаті в діапазоні F1:G3 з'явиться добуток матриць:
71 |
7 |
|
|
|
−5 14 |
|
|
C = A B = |
. |
||
|
16 |
1 |
|
|
|
||
67