1.9 Наивероятнейшее число наступления события

На практике иногда требуется знать наивероятнейшее число наступления события в схеме Бернулли, то есть при каком m и фиксированном n вероятность Р_n(m) принимает наибольшее значение. Обозначим это число через m₀ и найдем его, применяя формулу Бернулли. Получим:

np–qm₀np+p. (1.16)

То есть наивероятнейшая частота m₀ находится в интервале m₀[np–q; np+p], длина которого равна единице. Так как наивероятнейшая частота может выражаться только целым числом, то она может принимать или одно значение, если границы выражены дробными числами, или два значения, если границы сами являются целыми числами.

Задача 25. В результате многолетних наблюдений, вероятность дождя 21/VII в нашем городе составляет 0.3. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 21/VII за ближайшие 30 лет.

Решение. По условию задачи р=0.3, q=0.7, n=30.

Так как npq  m₀  np+p, то наивероятнейшее число дождливых дней m₀ найдем из двойного неравенства:

300.3-0.7m₀300.3+0.3,

9-0.7m₀9+0.3,

8.3m₀9.3.

В этом интервале находится лишь одно целое решение m₀=9. То есть, с наибольшей долей вероятности можно утверждать, что в ближайшие 30 лет в этот день будет дождь лишь в 9 случаях.

Задача 26. В питомнике 40 вакцинированных кроликов и 10 контрольных. Осуществляют проверку подряд 14 кроликов, результат регистрируют и отправляют кроликов назад. Определить наивероятнейшее число появления контрольного кролика.

Решение. По условию n=14, p=10/50=0.2, q=40/50=0.8; тогда

140.2-0.8m₀140.2+0.2; или 2m₀3.

Задача имеет два решения: контрольных кроликов будет или 2, или 3. Тогда можно подставить эти числа в формулу Бернулли и убедиться, что вероятности равны.

Задача 27. В ящике 100 стандартных деталей и 20 бракованных. Из ящика берут деталь, регистрируют ее качество и возвращают на место. Наивероятнейшее число достать стандартную деталь равно 15. Сколько деталей успели проверить?

Решение. По условию задачи m₀=15, вероятность достать стандартную деталь составляет ;. Найдемn, подставив значения в двойное неравенство (1.16). Имеем:

.

Решением неравенства относительно n будет , или 17n18.2. Т.о., проверили или 17, или 18 деталей.

Анализируя двойное неравенство для нахождения наивероятнейшего числа успеха в n опытах, можно заметить особую роль произведения nр, которое можно рассматривать, как среднее число успехов в n испытаниях: т.е. m₀=np.

Задача 28. Первый рабочий за смену изготовил 120 деталей, второй –140 деталей. Вероятность того, что эти изделия высшего сорта составляет соответственно 0.94 и 0.8. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.

Решение. n₁=120, n₂=140, p₁=0.94, p₂=0.8. Найдем m₀₁ и m₀₂: m₀₁n₁p₁=1200.94= 112.8113; m₀₂n₂p₂=1400.8=112.

1.10 Формула Пуассона

Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий p или q близка к нулю, то события называют редкими. Так редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество града, выпавшего за июнь на даче и др.

Для определения вероятности редких явлений используется асимптотическая формула Пуассона, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема. Если вероятность р события A в каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний n, которое достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A произойдет m раз, приближенно находится по формуле

, (1.17)

где =np=const.

Закон Пуассона применяется для определения вероятности появления m событий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний n достаточно велико (n), а вероятность появления события в каждом испытании p мала, т.е. p0 (или q0).

Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона затабулированы и приведены в таблице 1 Приложений.

Задача 29. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0.002. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

Решение. По условию задачи известно, что n=1000, p=0.002, m>3.

Т.к. обрыв нити на каждом веретене может либо произойти, либо не произойти, то речь идет о независимых повторных испытаниях. Тот факт, что вероятность обрыва нити мала, дает возможность использовать для решения формулу Пуассона для «редких явлений».

Имеем =np=10000.002=2.

Тогда P_n{k>3}=1P_n{k3}=1 (P_n(0)+P_n(1)+ P_n(2)+ P_n(3)).

Используя формулу Пуассона, имеем:

.

Задача 30. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного из них в течение года работы равна 0.001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа:

а) двух элементов;

б) не менее двух и не более четырех элементов;

в) не менее двух элементов в год?

Решение. Эти независимые повторные испытания вычисляются по формуле Пуассона для редких явлений. Тогда =np=10000.001=1. Найдем вероятность по таблице 1.

1. P₁₀₀₀(2)=P(2.1)=0.184.

2. P₁₀₀₀{2m4}=P₁₀₀₀ (2)+ P₁₀₀₀ (3)+ P₁₀₀₀ (4)=0.184+0.061+0.015=0.26.

3. P₁₀₀₀{m2}=1P₁₀₀₀{m<2}=1(P₁₀₀₀(0)+P₁₀₀₀(1))=1(0.368+0.368)=0.264.