1.8 Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

Независимыми повторными испытаниями называются такие испытания, когда вероятность появления события A в любом из них не зависит от исходов в других испытаниях. Пусть производятся независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно появление событий A₁,A₂,…, A_k с постоянными вероятностями р₁, p₂,…, p_k.. События A₁,A₂,…, A_k образуют полную группу, т.е. в каждом испытании должно происходить одно из них, поэтому . Такой эксперимент, при которомk=2, т.е. возможно появление лишь двух событий (например, выпадение орла или решки), называется испытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

Пусть в испытании Бернулли вероятность события A₁=A, условно называемого успехом, равна р. Назовем противоположное событие A₂=– неуспех или неудача. Тогда вероятность того, что событиеA не появится, равна q=1–p, т.к. P(A)+P()=1. Например, для события, которое осуществится в трех из четырех повторных испытаниях, возможны варианты: AAA, AAA, AAA, AAA. Их число равно .

Пусть производится n испытаний Бернулли. Найдем вероятность Р_n(m) того, что в этих n испытаниях событие A осуществится ровно m раз. Так как вероятность появления события A в каждом из m случаях равна р (и в I, и во II, ... и в m-ом случаяе), то по правилу умножения вероятностей вероятность появления этого события равна р^m. Но т.к. известно, что событие A должно не появиться в остальных n-m испытаниях, значит, по правилу произведения вероятность его непоявления равна q^n-m=(1-p)^n-m.

Последовательность выполнения и невыполнения события A не зависит от порядка их осуществления в этих испытаниях. Поэтому количество таких вариантов находится с помощью сочетаний . Так как приходится учитывать и число вариантов осуществления событияA, и вероятность его появления, и вероятность его не появления, то по правилу произведения находим формулу вероятности числа успехов m в n испытаниях Бернулли:

Р_n(m)=C_n^mp^mq^n-m_. (1.15)

Формула Бернулли имеет очень широкое применение в прикладных науках, так как она описывает реальные жизненные ситуации: из проверяемых n изделий вероятность обнаружить m бракованных; из посаженных n семян известной всхожести р взойдут m; из зарегистрированных n новорожденных вероятность рождения m мальчиков.

Эта формула носит имя Якоба Бернулли (1654-1706) – одного из первых представителей знаменитой семьи Бернулли, члены которой более 200 лет в каждом поколении давали миру крупных ученых.

Задача 23. Вероятность того, что лампа перегорит после 1000 часов работы, равна 0.8.

а) Какова вероятность того, что, проработав 1000 часов, три из 5 лампочек останутся исправными?

б) Найти вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными (событие A).

Решение. а) По условию задачи работа каждой лампы в течение 1000 часов – испытание, поэтому n=5. Событие A – исправность трех ламп происходит в трех испытаниях, то есть m=3. В одиночном испытании (одной лампы), вероятность сгореть равна р=0.8, а вероятность остаться исправной равна q=1–р=1–0.8=0.2. По формуле Бернулли имеем:

.

б) Условие не менее трех исправных ламп означает, что могут остаться исправными или 3 лампы (A₃), или 4 лампы (A₄), или 5 ламп (событие A₅). Тогда по формуле сложения вероятностей несовместных событий P(A)=P(A₃)+P(A₄)+P(A₅). Так как вероятность каждого из этих событий находится по формуле Бернулли Р₅(m)=C₅^mp^mq^5-m, где m=3, 4, 5, то

Итак, формула Бернулли применяется при выполнении ряда условий:

– число опытов фиксировано и ограничено,

– опыты независимы (результат одного испытания не влияет на результаты остальных),

– результатом испытания может быть лишь один из двух взаимно исключающих исходов (успех или неуспех),

– вероятность успеха в каждом опыте одна и та же.

Задача 24. Банк имеет шесть отделений. С вероятностью 0.2 независимо от других каждое отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. Какова вероятность того, что есть заявка от первого отделения, если поступило две заявки?

Решение. Эту задачу надо решать с помощью формулы Бернулли. Это условная вероятность P(B|A) , где событие A: «поступило две заявки», а событие B: «поступила заявка от первого отделения». По формуле для условной вероятности имеем: .