2.2 Биномиальное распределение дсв

Рассмотрим отдельные виды ДСВ.

Биномиальным называется закон распределения ДСВ X – числа появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события p – величина постоянная, причем вероятность возможного значения X=m вычисляется по формуле Бернулли

P(X=m)=, где q=1p, а m=0, 1, …, n. (2.9)

Распределение называется биномиальным, так как эта формула Бернулли связана с формулой бинома Ньютона, в частности

.

Т.о., вероятность события X=m при из n возможных полностью совпадает с соответствующим членом разложения бинома Ньютона, стоящем на m+1 месте справа.

ДСВ X, распределенную по биномиальному закону с параметрами n и p, обозначим XBi(n,p).

Тогда ряд распределений биномиального закона имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…	n-1	n
pi	qn			…		…		pn

Найдем числовые характеристики биномиального закона распределений: математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение (X).

Пусть в каждом из n независимых испытаний исследуемое событие A имеет вероятность появления р. Тогда вероятность, что это событие не произойдет q=1p.

Закон распределения такой дсв имеет вид:

xi	0	1
pi	q	p

Тогда для одного испытания M(X)=0+1=р, а для n испытаний

М(X)=np, (2.10)

M(X ²)=0² +1²=p.

По формуле D(X)= M(Х²)M²(X)=pp²=p(1p)=pq, т.к. p+q=1.

Т.к. отдельные события х­_i – независимые, а событие X – сумма х_i, то

D(х₁+х₂+... +х_n)=pq+pq+...+pq=npq . (2.11)

Итак, при биномиальном распределении D(X)=npq, а (X)=.

Задача 6. Определить дисперсию и среднеквадратическое отклонение для СВ – числа правильных заключений на проверяемые балансы – если аудитору на заключение представлены 6 балансов, а аудитор допускает ошибку при проверке бухгалтерского баланса с вероятностью 1/3.

Решение: По условию имеем n=6; p=1/3 q=2/3; тогда D(X)=npq=6(X)=.

Используя формулу Бернулли, можно составить функцию распределения для биномиальной случайной величины:

(2.12)

Задача 7. Проверка качества микрокалькуляторов показала, что из каждых ста МК имеет дефекты в среднем 25 штук.

1. Составить ряд распределений вероятностей для X-числа исправных калькуляторов из взятых наудачу шести из них. Построить график этого распределения.

2. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

3. Составить функцию распределения и построить ее график.

Решение: По условию имеем n=6, р=0.75, q=0.25.

1. Т.к. любой калькулятор может быть либо исправным, либо не исправным, то число исправных МК распределяется по биномиальному закону. Для составления ряда распределений найдем по формуле Бернулли соответствующие вероятности для всех возможных значений m={0, 1, 2, 3, 4, 5}, округлив вероятность до тысячных.

, ,

, ,

, ,

.

Тогда закон распределения этой ДСВ можно представить в виде ряда:

x	0	1	2	3	4	5	6
P	0.000	0.004	0.033	0.132	0.297	0.356	0.178

Графическое представление этого биномиального закона распределения – многоугольник распределений – имеет вид (Рис.9):

Рис.9

2. Числовые характеристики этой биномиальной ДСВ X найдем по формулам:

M(X)=np=60.75=4.5,

D(X)=npq=60.750.251.125,

σ(X)=.

3. Функцию распределения ДСВ X представим в виде системы

Рис. 10

Тогда график функции распределения имеет ступенчатый вид (рис.10).

Задача 7. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 1/3. Построить многоугольник распределения числа попаданий и найти все основные характеристики этой ДСВ.

Решение: Вероятность попадания p=1/3, а вероятность промаха q=1p=2/3.

Рассмотрим все возможные варианты, учитывая, что данное распределение носит биномиальный характер, и вероятность появления ДСВ находится по формуле Бернулли Р_n^k=C_n^kp^kq^n-k:

1) все промахи при n=3; m=0, тогда Р₃⁰=С₃⁰p⁰q³=,

2)одно попадание при n=3, m=1, отсюда Р₃¹=С₃¹p¹q²=3,

3) два попадания при n=3, m=2, тогда Р₃²=С₃²p²q=,

4)три попадания: n=3, m=3, поэтому Р₃³=С₃³p³q⁰=.

При этом сумма вероятностей должна быть равна единице, так как мы рассмотрены все варианты, представляющие полную группу событий:

Р=Р₃⁰+Р₃¹+Р₃²+Р₃³=

Поэтому на практике достаточно вычислять n1 значение p_i, а последнее, наиболее трудно вычисляемое, считать из условия нормировки вероятности.

Ряд распределений имеет вид 0; 1; 2; 3. Закон распределений оформим в таблице

xi	0	1	2	3
pi	8/27	4/9	2/9	1/27

Математическое ожидание М(X)=np=31/3=1

(или ).

Дисперсия D(X)=npq=,=0.816.

На рис.11 представлены многоугольник распределений (а) и график функции распределения (б). «Выколотые» точки (или стрелочки) означают, что при этом аргументе значение функции распределения берется на нижней ветви графика.

а) б)

Рис.11.

Гипергеометрические распределения. Другим видом ДСВ являются гипергеометрические распределения, которые были рассмотрены в п.1.6 (задачи 15-17).

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, 3, …, min (n,M) c вероятностью, вычисляемой по формуле

,

где m=1, 2, 3, …, min (n,M); mN, nN, а n, M, N  N.

Пусть дискретная случайная величина X имеет m объектов, обладающих некоторым отличительным свойством по сравнению с n объектами случайной выборки без повторений (без возвратов), извлеченной из всего множества N объектов, обладающих этим свойством. Такое распределение дискретной случайной величины X называют гипергеометрическим.

Числовые характеристики гипергеометрического распределения случайной величины X можно найти по формулам:

1. математическое ожидание

; (2.13)

2. дисперсия

DX=. (2.14)

Функция распределения гипергеометрических распределений при N стремится к соответствующей функции распределения биномиальных распределений.

Гипергеометрические распределения широко применяются в работе отделов технического контроля (ОТК) при статистической оценке качества продукции с помощью выборочного обследования.

Задача 8. В партии, состоящей из 10 калькуляторов (МК), 7 – стандартных. Контролер ОТК наудачу проверил два МК. Составить закон распределения числа обнаруженных стандартных МК и найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение: Число стандартных МК есть ДСВ. Обозначим ее X. Для подсчета вероятностей этих значений используем гипергеометрическое распределение (рис.12):

,	,	.

Рис.12

Действительно:.

Закон распределения этой ДСВ имеет вид:

xi	0	1	2
pi

Найдем математическое ожидание и дисперсию по общей формуле:

,

, тогда D(X)2.33-1.96=0.37.

Среднеквадратическое отклонение имеет вид: .

Сравним результат с соответствующими числовыми характеристиками, полученными по формулам, предназначенным для гипергеометрических распределений:

Имеем для N=10, M=7, n=2, M(X)=2=1.4:

D(X)=2=0.37.