2.9 Числовые характеристики случайной величины (продолжение). Моменты

Рассмотрим два вида моментов – начальные и центральные.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание для случайной величины :

_k=M(X^k), где k R. (2.46)

При k=1 имеем первый начальный момент ₁=MX=m, который, как известно, есть математическое ожидание случайной величины X.

Отклонение для случайной величины X от своего математического ожидания X–MX называется центрированной случайной величиной X. Центрирование случайной величины аналогично переносу начала координат в среднюю точку – центр распределения.

Центральным моментом порядка k для случайной величины X называется математическое ожидание степени k соответствующей центрированной случайной величины X:

, где k R (2.47)

Можно доказать, что зависимость между начальным и центральным моментом порядка s выражается формулами:

и т.д.

В связи с их особой ролью в исследованиях методами математической статистики, ограничимся рассмотрением первых четырех центральных моментов:

1. –есть математическое ожидание центрированной случайной величины X или первый центральный момент;

2. –есть дисперсия случайной величины X или второй центральный момент;

3. –третий центральный момент;

4. –четвертый центральный момент.

Моменты зависят от характера распределения СВ. Формулы, по которым они вычисляются для ДСВ и НСВ, сведем в таблице.

Виды моментов	Виды распределений
	ДСВ	НСВ
Начальный момент порядка k
Центральный момент порядка k

«Центром», относительно которого вычисляется центральный момент, служит первый начальный момент , причем, суммирование выполняется по всем принимаемым значениям, интегрирование – по всей области определения.

Моменты как характеристики распределения, дают дополнительную информацию об исследуемом распределении. Так, математическое ожидание – первый начальный момент – это средняя точка распределения, тот «центр», вокруг которого и вычисляются центральные моменты. Дисперсия – второй центральный момент – характеризует разброс вокруг математического ожидания. Третий центральный момент, деленный на третью степень среднеквадратического отклонения, есть асимметрия распределения:

. (2.48)

Если, распределение симметрично относительно своего центра, то A=0.

Четвертый центральный момент, деленный на четвертую степень среднего квадратического отклонения – эксцесс – характеризует «плосковершинность» распределения и вычисляется по формуле:

. (2.49)

Т.к. для нормального распределения , тоE=0. Для распределений, близких к нормальному, отличный от нуля эксцесс показывает степень различия между имеющимся распределением и нормальным. Если , то кривая распределений имеет более вершину.

Значения асимметрии и эксцесса для различных распределений представим в таблице:

Вид распределения	Асимметрия	Эксцесс
Нормальное XN(m, )	A=0	E=0
Равномерное XU(a, b)	A=0	E= 1.2
Показательное XE()	A=2	E=6
Биномиальное XBi(n, p)
Геометрическое XG(p)	A=	E=
Пуассона XП()