2.8 Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины X, которое описывается функцией распределения:

(2.40)

Тогда плотность вероятности показательного распределения равна

(2.41)

где  – постоянная положительная величина.

Графики плотности вероятности (рис. 19а) и функции распределения (рис. 19б) имеют вид:

а) б)

Рис. 19

x

Показательное распределение, обозначаемое XE(), широко применяется в приложениях, в частности, в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности. Также закон показательного распределения используется в системах массового обслуживания. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону. Найдем математическое ожидание:

. (2.42)

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно величине, обратной параметру . Поэтому, если переменная x – время некоего процесса, то МХ=1/ имеет смысл времени релаксации (ослабления) этого процесса, когда плотность вероятности затухает в е раз. Тогда вероятность, что событие произойдет (например, лампочка перегорит) за время 1/, равна F(1/)–F(0)=1– 1/е=0.632.

Найдем дисперсию:

. (2.43)

Отсюда MX=(X)=1/.

Найдем вероятность попадания непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, на интервал (a;b). Воспользуемся общей формулой вероятности попадания непрерывной случайной величины X на заданный интервал:

P(a<X<b)=F(b)-F(a), где F(b)=1, аF(a)=1.Тогда имеем

P(a<X<b)=F(b) F(a)=1 (1)=. (2.44)

Функция надежности. Назовем элементом некоторое устройство вне зависимости от степени его сложности. Рассмотрим время работы такого элемента в системах массового обслуживания (СМО). Обозначим через t=0 начальный момент времени работы элемента. Пусть через некоторое время T произошел отказ в его работе. Тогда T – непрерывная случайная величина – время безотказной работы элемента. Вероятность отказа работы элемента за некоторое время продолжительностью t определяется функцией распределения F(t) =P(T<t).

Поэтому вероятность безотказной работы за время t как событие, противоположное вероятности отказа, можно найти по формуле R(t)=P(T>t)=1–F(t), где R(t) – функция надежности. Продолжительность безотказной работы элемента – случайная величина, соответствующая показательному закону распределения НСВ: , где  интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени. Поэтому функция надежности принимает вид:

. (2.45)

Функцию надежности, заданную зависимостью R(t)=е, называютпоказательным законом надежности и используют для вычисления вероятности безотказной работы элемента за время t.

Основное свойство показательного закона надежности заключается в том, что вероятность безотказной работы элемента за время t не зависит от времени его работы до рассматриваемого временного интервала, а зависит лишь от длительности интервала t при известной интенсивности отказов . Т.о., условная вероятность безотказной работы элемента на интервале времени t (при условии его безотказной работы до этого временного интервала) равна безусловной вероятности, т.е. прошлый опыт работы не учитывается.

Задача 15. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t>0: F(t)=1е. Найти вероятность того, что за времяt = 40ч.

а) элемент не откажет;

б) элемент выйдет из строя.

Решение. Условие задачи указывает на показательный закон надежности для времени t = 40ч.

Вероятность безотказной работы за 40 часов равна .

Поэтому вероятность противоположного события – отказа или выхода из строя элемента за 40 часов равна F(40)=1–0.45=0.55.

Задача 16. Время t – случайная величина, за которую в железнодорожном депо расформировывают состав через горку. За один час на горке может быть расформировано шесть поездов. Определить вероятность того, что время, за которое состав будет расформирован,

а) меньше получаса;

б) меньше 24 минут, но больше 6 минут.

Решение. Т.к. вероятность расформировать состав подчиняется показательному закону, то обозначим среднее число поездов как интенсивность заказов =6.

За время t=0.5 часа вероятность расформировать состав равна

Вероятность того, что время, за которое состав будет расформирован, при t₁=6 мин.=0.1ч., t₂ =24 мин.=0.4 ч. составляет