2.11.3 Распределение Фишера-Снедекора (или f-распределение)

Распределением Фишера-Снедекора называется распределение случайной величины

,

где – случайные величины, имеющие-распределение соответственно сk₁ и k₂ степенями свободы (рис. 26).

Рис.26

Свойства F–распределения:

1) M(F(k₁, k₂))= (существует при k₂>2); (2.59)

2) Mо(F(k₁, k₂))= (существует при k₂>1);

3) D(F(k₁, k₂))=.

2.12 Понятие о законе больших чисел

В теории вероятностей под законом больших чисел принято понимать совокупность теорем, устанавливающих связь между средним арифметическим большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий. Различные формы закона больших чисел имеют большое практическое значение, т.к. составляют теоретическую базу математической статистики.

В основе закона больших чисел лежит понятие сходимости случайных величин по вероятности:

Последовательность случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n,… сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого  >0

или .

Сходимость по вероятности можно записать символически X_nX или X_n X.

2.12.1 Неравенство Маркова

Для любой неотрицательной случайной величины X, имеющей конечное математическое ожидание, и  0, вероятность того, что она примет значение, не превосходящее , не больше, чем отношение математического ожидания этой случайной величины М(X) к значению :

, или . (2.60)

Доказательство. Сначала докажем случай ДСВ. Пусть ДСВ X задана рядом распределений:

Xi	X1	X2	…	Xn
Pi	P1	P2	…	Pn

Выделим множество A=xx. Если A=, то Р=0М(X). В противном случае A состоит из k1 элементов. Тогда

.

Отсюда .

Аналогично доказывается неравенство для НСВ:

Пусть неотрицательная НСВ  (т.е. f(x)=0 при x<0) с плотностью вероятности f(x) имеет математическое ожидание М(). Тогда

.

Неравенство Маркова применяют для оценки вероятности неотрицательных случайных величин, для которых неизвестен закон распределения. Если М(X), то для оценки вероятности используют другие неравенства, т.к. 0P{X>}1.

Задача 17. Средний срок службы холодильника 5 лет. Оценить вероятность того, что данный холодильник не прослужит более 20 лет.

Решение. Пусть X – срок службы. Используя неравенство Маркова, имеем

P(X20)15/20 = 0.75.

Задача 18. Сумма всех вкладов в сбербанке составляет рублей. Вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает 1000 рублей равна 0.8. Оценить число вкладчиков в этом банке.

Решение. Пусть в банке n вкладчиков. Обозначим через X величину случайного снятого вклада. Найдем математическое ожидание вкладов отдельных вкладчиков М(X) = /n. Пусть =1000=10³. Согласно условию задачи имеем Р|x<1000|=0.8. Но, используя неравенство Маркова, эту вероятность можно записать в виде неравенства

.

Отсюда 4000/n>0.2, поэтому n<20000, т.о. в этом банке могут содержать вклады не более двадцати тысяч вкладчиков.

2.12.2 Неравенство Чебышева

Если СВ X имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого  >0 справедливы неравенства:

и , (2.61)

или вероятность того, что отклонение СВ X от ее математического ожидания по модулю не превосходит положительного числа  >0, больше чем 1.

Доказательство. Оценим вероятность того, что отклонение СВ X от М(X) не превосходит . Неравенство X-МХ, ввиду неотрицательности модуля, равносильно неравенству XMХ²². Применим неравенство Маркова к случайной величине XMX²:

.

Для противоположного события выполняется неравенство

.

В отличие от неравенства Маркова, неравенство Чебышева используется для любых, а не только неотрицательных случайных величин. Неравенство Чебышева устанавливает нижнюю границу вероятности и показывает, что эта граница зависит лишь от дисперсии.

Задача19. Стандартная длина детали (50±0.32) см. Оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше, чем 49.5 см и не более 50.5 см.

Решение. По условию имеем МX=50 см, среднеквадратическое отклонение  =0.32. Тогда DX=0.32²=0.1024. Условие запишем, используя неравенство Чебышева для оценки вероятности:

P{49.5x50.5}=P{|x50|0.5} =>  =0.5. Тогда имеем

P{|x50|<0.5}>10.1/0.5² = 10.4= 0.6.

Задача 20. Электростанция обслуживает сеть из 15000 ламп, вероятность включения каждой из которых ранним осенним вечером равна 0.8. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть осенним вечером отличается от своего математического ожидания не менее, чем на 200?

Решение. По условию задачи имеем р=0.8, n=15000,  =200. Т.к. включения каждой из ламп независимы, то X – число включенных ламп – подчиняется биномиальному закону. Найдем числовые характеристики СВ X: MХ=np=150000.8=12000, DХ= np(1р)=150000.20.8= 2400.

Тогда согласно неравенству Чебышева имеем:

P(|XMX|>200)2400/200² = 0.06.