2.10 Случайные векторы. Закон распределения

системы случайных величин

2.10.1 Случайные векторы

Упорядоченную пару (X,Y) назовем двумерной случайной величиной или случайным вектором, если для любых XR, YR неравенство X<x, Y<y является событием. Т.о., определена вероятность P(X<x,Y<y), которая называется функцией распределения двумерной случайной величины. Тогда X и Y называют компонентами двумерной случайной величины или координатами случайного вектора.

Рассмотрим примеры.

1) Железнодорожный билет можно охарактеризовать системой пяти случайных величин, где X₁ – стоимость, X₂ – номер поезда, X₃ – номер вагона, X₄  номер места, X₅ – номер паспорта его владельца.

2) Академическую успеваемость студентов вашей группы можно охарактеризовать n-мерной случайной величиной – оценками за прошедшие семестры, где n  число оцененных предметов за время учебы.

Т.о., функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называется функция F(x,y), определяющая для каждой пары (X,Y) вероятность одновременного выполнения двух неравенств X<x и Y<y, т.е.

F(x, y)=P(X<x,Y<y).

_{Двумерную дискретную СВ можно задать аналитически с помощью формулы закона её распределения F(x,y), с помощью таблиц или графически.}

_{При табличном способе задания двумерной дискретной случайной величины перечисляются все возможные значения каждой из переменных и соответствующие им вероятности случайных величин, расположенных на пересечении i-ой строки (для случайной величины X) и j-го столбца (для случайной величины Y):}

	Х1	Х2	…	X
Y1	P11	p12	…	P1n
Y2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
Ym	Pn1	Pn2	…	Pmn

С геометрической точки зрения функция распределения F(x,y) двумерной случайной величины есть вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке (x,y), расположенный левее и ниже этой точки, т.е. в ту часть плоскости, все точки которой удовлетворяют неравенствам X<x и Y<y (рис.20).

Рис.20

Аналогично, с геометрической точки зрения, функция распределения первой компоненты X случайного вектора – , есть вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссойx (рис. 21а). Функция распределения случайной величины Y – – вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой y (рис. 21б)

а) б)

Рис.21

Функция распределения двумерной случайной величины имеет свойства, аналогичные функции распределения одномерной случайной величины:

1) Функция распределения удовлетворяет двойному неравенству

0F(x, y)1.

2) F(x, y) – неубывающая функция по каждому из своих аргументов, т.е. справедливы неравенства F(x₂, y) ≥ F(x₁, y) для x₂>x₁, и F(x, y₂) ≥ F(x, y₁) для y₂>y_1.

3) Справедливы предельные соотношения:

F(x, ∞)=0, F(∞, y)=0, F(∞, ∞)=0, F(∞, ∞)=1.

4) F(x, ∞)=F_X(x), F(+∞, y) = F_Y(y).

5) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

x₁X< x₂, y₁Y<y₂ равна

P(aX<b, cY<d)=F(b, d)F(a, d)F(b, c)F(a, c). (2.50)

Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X,Y) зададим через функцию плотности вероятности.

Если существует такая функция f(x,y), что при xR, yR имеет место равенство

, (2.51)

то эта функция называется плотностью распределения случайного вектора (X,Y), а сам вектор (X,Y) называется непрерывной двумерной случайной величиной.

Свойства плотности распределения вероятности двумерной случайной величины также аналогичны одномерной:

1. f(x, y)≥0 ;

2. ;

3. ; (2.52)

4. и – плотности распределения отдельных компонент двумерной случайной величины.

С геометрической точки зрения плотность вероятности f(x,y) двумерной непрерывной случайной величины имеет вид некоторой поверхности, называемой поверхностью распределения. Эта поверхность аналогична кривой распределения одномерной случайной величины (рис.22):

y

x

z

Рис.22

Объем тела, ограниченного поверхностью f(x,y) и плоскостью xOy, равен единице.

Вероятность попадания двумерной непрерывной случайной точки (X,Y) в произвольную область D равна двойному интегралу по области D от функции f(x, y):

. (2.53)

В частности, если область D есть прямоугольник R, ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d (рис.23), то формула примет вид:

y

0

x

Рис.23

. (2.54)

Закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) есть конечное или счетное множество всех возможных значений случайного вектора (X,Y)=(x_i, y_j) с указанием соответствующих вероятностей:

,

где i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m; а n и m – число возможных значений случайных величин соответственно X и Y. Сумма вероятностей p_ij по всем значениям i и j равна единице: .

Зная закон распределения двумерной случайной величины (X,Y), можно найти закон распределения отдельных ее компонент X и Y. Для этого, имея табличное задание закона распределения двумерной случайной величины, находят суммы вероятностей «по строкам» – для переменной Y, и «по столбцам» – для переменной X. При подсчете вероятностей законов распределения отдельных переменных необходимо помнить об этапе контрольной проверки, т.е. о нормировке:

Распределение вероятностей координат вектора можно найти, просуммировав вероятности {p_ij} по соответствующему индексу:

Задача 17. Составить законы распределения переменных X и Y, зная двумерный закон их распределения.

	X
Y	2	3	5
8	0.12	0.24	0.16
10	0.23	0.18	0.07

Решение. Найдем суммы вероятностей «по строкам» – для переменной Y, и «по столбцам» – для переменной X и составим для них новую таблицу:

		X
Y	2	3	5	Р(yj)
8	0.12	0.24	0.16	0.52
10	0.23	0.18	0.07	0.48
P(хi)	0.35	0.42	0.23

Тогда законы распределения по отдельным переменным X и Y примут вид:

X	2	3	5		Y	8	10
P(хi)	0.35	0.42	0.23		Р(yj)	0.52	0.48

Осуществляя контроль, убеждаемся, что

Итак, по закону распределения двумерной случайной величины можно установить законы распределения одномерных случайных величин. Однако на практике чаще более важной является обратная задача: по распределениям вероятностей отдельных переменных построить закон распределения их композиций с помощью выполнения математических операций над случайными величинами.