2.3 Геометрическое распределение дсв

В последовательности независимых испытаний Бернулли (р – вероятность успеха в каждом испытании, q – вероятность неуспеха) рассмотрим СВ X – номер испытания, являющегося первым успехом. По своему смыслу X – дискретная СВ, т.к. множество реальных значений X является конечным множеством.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,3, … с вероятностями P(X=k)=. Геометрическое распределение принято обозначать XG(p). Найдем ряд распределений ДСВ XG(p), т.е. все пары вида (k, p(k)). Т.к. первый успех произошел в k-ом испытании, то все предыдущие испытаний являлись неуспехами. Тогда по свойству произведения независимых испытаний

, где k=1, 2, … (2.15)

xk=k	1	2	3	…	k
рk	p	qp	q2p	…

Проверим нормировку ряда:

,

т.к. ряд представляет собой убывающую (=q<1) геометрическую прогрессию. Поэтому это распределение называется геометрическим. Вычислим основные характеристики ДСВ X:

Найдем математическое ожидание X:

(2.16)

Для нахождения дисперсии найдем МХ²:

Тогда дисперсия равна

. (2.17)

Задача 10. Студент подготовил из 40 экзаменационных билетов 32 и мечтает, что преподаватель разрешит ему выбрать «знакомый» билет. Составьте ряд распределений числа X возможных попыток взять билет до появления первого «знакомого» билета, если преподаватель остановил студента после четвертой попытки и найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Вероятность того, что студент возьмет «знакомый» билет, равна 0.8. Случайная величина X – число испытаний до появления первого «знакомого» билета. Составить ряд распределения, найти функцию распределения ДСВ X, построить её график и найти все числовые характеристики (ограничиться тремя-пятью испытаниями).

Обозначим через n – число «испытаний», p – вероятность взять «знакомый» билет. Тогда p=0.8, q=1–p=0.2. Найдем вероятности ,,,.

Т.к. случайная величина X – число возможных попыток до появления первого «знакомого» билета, то воспользуемся геометрической вероятностью:

,

,

x	1	2	3	4
P	0.8	0.16	0.032	0.0064

Математическое ожидание равно

дисперсия –

среднеквадратическое отклонение .

2.4 Закон распределения Пуассона

Формула Бернулли для биноминального распределения случайной величины при больших значениях m и n или при малых значениях р и q дает значительные вычислительные погрешности при округлениях.

Если в выражении Р_n(k) для биноминального распределения ДСВ Р_n(k)=C_n^kp^k(1– p)^n-k зафиксировать значение k, причем n R n, p0, а их произведение является постоянным числом  (т.е. nр==const), то limP_n(k)=, где k R.

Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, k, …c вероятностью

.

k	0	1	2	…	r	…
Pk				…		…

Пуассона принято обозначать XП(). Легко проверить нормировку распределения Пуассона для постоянных  с помощью рядов:

р₀+р₁+р₂+...=е^-,

где скобка представляет собой разложение е^ в ряд Тейлора в нуле. Этот ряд сходится к е^ при любом .

График функции распределения Пуассона для отдельного значения параметра  представляет собой дискретный ряд точек (рис.13). Если их соединить ломаной, то получится многоугольник распределений. Разным значениям  соответствуют разные распределения Пуассона. Значения при различных значениях рассчитаны и обычно приводятся в справочной литературе в виде таблиц (Таблица №1 Приложений).

Рис.13

Так как биномиальные распределения при определенных условиях (nр=) переходят в распределения Пуассона, то последние являются предельными для биномиальных распределений. Тот факт, что в распределениях Пуассона вероятность стремится к нулю, дает основание называть это распределение “Законом редких явлений”.

Итак, функция распределения Пуассона имеет вид

. (2.18)

Математическое ожидание и дисперсия при распределении Пуассона равны параметру : М(X)=, D(X)=.

Действительно,

. (2.19)

Аналогично вычислим DX и получим

. (2.20)

По закону Пуассона распределяются, например, вызовы абонента в течение часа на телефонной станции и другие редкие явления.

Задача 11. АТС получает в среднем 300 вызовов в час. Какова вероятность, что в указанную минуту будут два вызова?

Решение. Количество вызовов в среднем можно найти, если 300:60=5 вызовов в минуту. =5. Найдем P(2)=.

Задача 12. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного из них в течение года работы равна 0.001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа:

а) двух элементов;

б) не менее двух и не более четырех элементов;

в) не менее двух элементов в год?

Решение. Независимые повторные испытания вычисляются по формуле Пуассона для редких явлений. Тогда =np=0.001=1. Найдем вероятность по таблице 1.

а) P₁₀₀₀(2)=P(2,1)=0.184;

б)P₁₀₀₀{2m4}=P₁₀₀₀(2)+P₁₀₀₀ (3)+ P₁₀₀₀ (4)=0.184+0.061+0.015=0.26;

в) P₁₀₀₀{m2}=1– P₁₀₀₀{m<2}=

=1– (P₁₀₀₀(0)+P₁₀₀₀(1))=1– (0.368+0.368)=0.264.