2.10.2 Зависимые и независимые случайные величины

Оказывается, вообще говоря, по распределениям вероятностей отдельных переменных построить закон распределения их композиций нельзя, т.к. для того чтобы полностью описать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в нее. Необходимо знать также зависимость между величинами, входящими в систему. Эту зависимость можно описать с помощью условных законов распределения.

Две случайные величины называются независимыми (попарно), если для любых x,yR соответствующие события X<x, Y<y являются независимыми. Для независимых случайных величин справедливо

F_(X,Y) (x,y)₌F_X(x)F_Y(y).

Условной функцией распределения случайной величины X при условии B называется условная вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, при условии, что событие B произошло: F(x|B)=P(X<x|B).

Для независимых случайных величин условная функция распределения совпадает с безусловной, т.е.

F_X(x|y₀)=F_X (x) и F_Y(y|x₀)=F_Y(y).

Условной плотностью распределения компонент непрерывного случайного вектора (X,Y) называется плотность распределения одной случайной величины, вычисленная при условии, что другая случайная величина приняла конкретное значение:

или (2.55)

Аналогично, условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X,Y) – есть ряд распределения одной случайной величины, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла конкретное значение, т.е.:

где  закон распределения двумерного случайного вектора (X,Y).

Для того чтобы непрерывные случайные величины были независимы необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X,Y) была равна произведению плотностей распределения отдельных ее составляющих:

f(x, y)=f_Xf_Y(y). (2.56)

Пусть X и Y – независимые дискретные случайные величины, заданные рядами распределений

X

X1

x2

…

xi

…

xn

Y

y1

y2

…

yj

…

ym

p

p1

p2

…

pi

…

pn

p

q1

q2

…

qj

…

qm

Причем, Тогда ряд распределений случайных величинZ₁=X+Y, Z₂=XY и Z₃=XY имеет вид:

Z1=X+Y	x1+y1	x2+y1	x1+y2	…	xi+yj	…	xn+ym
p	p1q1	p2q1	p1q2	…	piqj	…	pnqm

Z2=XY	x1y1	x2y1	x1y2	…	xiyj	…	xnym
p	p1q1	p2q1	p1q2	…	piqj	…	pnqm

Z3=XY	x1 y1	x2 y1	x1 y2	…	xiyj	…	xnym
p	p1q1	p2q1	p1q2	…	piqj	…	pnqm