Navch._posibnuk_Ivaschyk

рядках матриць B та A прирівнюються до нуля, що виникає при виведенні деяких змінних при специфікації моделі. Крім цього можуть бути введені деякі обмеження на комбінації елементів матриць B та A.

Якщо економетрична модель повна і параметри структурних рівнянь можна однозначно визначити на основі параметрів проведеної форми, то структурні рівняння ідентифіковані. Звідси, кожній структурній формі моделі відповідає тільки одна зведена форма і навпаки.

Зведена форма моделі за умови нормального розподілу збурюючих змінних і їх незалежності від ендогенних змін, а також при відсутності автокореляції збурюючих змінних і відносності функціональної мультиколінеарності завжди ідентифікована, оскільки їй не властивий взаємозв’язок між сумісно залежними змінними в окремих рівняннях. Якщо економетрична модель неідентифікована, то можливо оцінити параметри моделі (структурні рівняння, матрицю дисперсій і коваріації збурюючих змінних). В таких ситуаціях потрібно починати не з нового збору вихідних даних, а з нової специфікації всієї моделі або окремих її рівнянь.

Для повної економетричної моделі існує декілька критеріїв ідентифікованості.

Необхідною, але недостатньою умовою ідентифікації моделі є критерій правила рахунку числа наперед визначених змінних, які містяться в моделі, але виведені із взятого структурного рівняння. У крайньому разі потрібно, щоб воно дорівнювало числу сумісно залежних змінних структурного рівняння, яке розглядається, зменшеним на одиницю. Даний критерій запишемо так:

структурного рівняння; ki – число сумісно залежних змінних, які містяться в i-му структурному рівнянні. З допомогою цього критерію досліджується, чи достатньо введено обмежень (наприклад, нульових) на параметри моделі в окремих структурних рівняннях, щоб їх можна було ідентифікувати.

Це означає, що при mi = ki −1 число обмежень достатнє, щоб однозначно визначити параметри структурних рівнянь за їх зведеною формою; при mi > ki −1 структурне рівняння ідентифікується, в цьому випадку є більше обмежень, ніж це необхідно для

611

ідентифікації; при mi < ki −1 структурне рівняння не ідентифікується,

оскільки число обмежень недостатнє і, таким чином, відповідні рівняння статистично не відрізняються одне від одного. В першому випадку МНК можна застосувати до прогнозної форми, якщо виконуються передумови відносно збурень. У другому випадку необхідно скористатися методами оцінювання, наприклад, багатокроковим МНК або методом максимальної правдоподібності. У третьому випадку оцінка параметрів структурних рівнянь неможлива.

Альтернативною формою зазначеного критерію є така умова: число виведених із рівняння наперед визначених змінних повинно бути не менше числа ендогенних змінних, які беруть участь в ньому, зменшених на одиницю. Другим критерієм є правило порядку, яке містить необхідну та достатню умову ідентифікації. Це правило дає можливість точно встановити наявність або відсутність ідентифікації. При його використанні розглядаються змінні, які виведені із досліджуваного рівняння. На основі коефіцієнтів при цих змінних в інших рівняннях моделі будується матриця, ранг якої має бути не менше k–1, де k – загальна кількість сумісно залежних змінних.

Недоліком правила порядку є те, що параметри моделі повинні бути відомими. При невеликому числі рівнянь можна на основі логічних міркувань припустити, які параметри відмінні від нуля. При великому числі рівнянь і змінних таке припущення не завжди виправдане.

На практиці при перевірці ідентифікованості моделі дуже часто використовують правило рахунку, яке дає прийнятні результати. Необхідно відзначити, що ідентифікація сукупних рівнянь припускає, що збурення розподілені незалежно одне від одного. Але незалежність збурень – одна із вимог рекурсивної моделі. Таким чином, проблема ідентифікації рекурсивних моделей не виникає, оскільки вони завжди ідентифіковані. З проблемою ідентифікації приходиться мати справу при вивченні системи одночасних рівнянь, з допомогою яких описуються взаємозв’язки між економічними явищами.

18.4. Передумови побудови економетричних моделей

Для оцінювання економетричних моделей потрібне виконання сукупності певних припущень відносно збурень і закону їх розподілів. Виконання припущень відносно ймовірнісних властивостей збурень доповнюється специфікацією моделі. Ці

612

припущення зв’язані з передумовами регресійного аналізу, які розглянуто у попередніх розділах.

Передумова 1. Збурені змінні розподілені нормально. В загальному випадку неможливо апріорно визначити спільний розподіл збурених змінних. Проведення спільних експериментів породжує труднощі. Тому дуже часто обмежуються гіпотезою відносно розподілу збурень. Теоретично легше обґрунтувати багатомірний нормальний закон, який в свою чергу дозволить використати класичні статистичні критерії.

Передумова 2. Математичне сподівання збурених змінних рівне нулю:

Передумова 3. Матриця ∑u ,u′ = M (u,u′) дисперсій і коваріацій

збурених змінних для будь-якого часу t невироджена, що в свою чергу означає, що всі тотожності моделі виключаються за допомогою

спеціальних перетворень і існує зворотна матриця для ∑tu ,u′

Передумова 4. Збурені змінні різних рівнянь для кожного моменту часу t незалежні одне від одного. Ця умова зводиться до

вимоги, щоби матриця ∑tu ,u′ була діагональною

Крім цього, окреслена передумова відображає той факт, що збурені змінні дійсно носять випадковий характер і що всі змінні, які мають суттєвий вплив, містяться в окремих структурних рівняннях. Коваріації, відмінні від нуля, вказують на помилку специфікації структурних рівнянь. Ця передумова є однією з умов рекурсивної моделі.

Передумова 5. Розподіл збурених змінних інваріантний відносно часу. Ця передумова означає незмінність дисперсій і коваріації для будь-якого періоду:

Зазначена умова є узагальненням вимоги гомоскедастичності для лінійної регресії.

613

Передумова 6. Збурені змінні в різних структурних рівняннях не

Передумова 7. Поточні значення збурень стохастично незалежні від наперед визначених змінних. Передумова діє для фіксованого моменту часу t. Завдяки цьому твердженню значення лагових ендогенних змінних не корелюють із збуреними змінними.

Передумова 8. Збурення стохастично незалежні від екзогенних змінних для будь-якого моменту часу.

Передумова 9. Екзогенні змінні не корелюють між собою, тобто між екзогенними змінними відсутня мультиколінеарність.

18.5. Непрямий метод найменших квадратів

МНК можна використовувати до системи одночасних рівнянь, які повністю чи тільки частково ідентифіковані. Проте цей метод не може безпосередньо використовуватися при оцінюванні параметрів структурних рівнянь, оскільки вони не враховують одночасних співвідношень між сумісно залежними змінними. Модель спочатку представляється в прогнозній (приведеній) формі. Це можливо завдяки припущенню відносно повноти моделі. Використовуючи МНК до кожного отриманого рівняння, оцінюються всі параметри (коефіцієнти) системи в прогнозній формі. Оскільки за припущенням усі структурні рівняння точно ідентифіковані, на наступному етапі одночасно визначаються структурні коефіцієнти на основі коефіцієнтів прогнозних рівнянь.

Отже, структурні коефіцієнти оцінюються посередньо через оцінки параметрів прогнозної моделі, і тому ця процедура має назву непрямого (посереднього) методу найменших квадратів (НМНК). Якщо виконуються передумови побудови економетричних моделей, то оцінки, знайдені з допомогою НМНК, обґрунтовані. Метод неможливо застосувати, якщо модель складається з надідентифікованих структурних рівнянь, оскільки при цьому структурні коефіцієнти не можуть бути однозначно визначеними за коефіцієнтами прогнозних рівнянь. Це і є основним недоліком НМНК, так як практично в усіх економетричних моделях містяться надідентифіковані структурні рівняння.

614

Припустимо, що нас цікавить взаємозв’язок між ендогенними величинами: Y1t – експорт, Y2t – імпорт і екзогенними величинами: x1t– національний дохід України, x2t – зовнішній товарообіг країн ЄС.

Нехай між заданими ендогенними та екзогенними величинами існує лінійна форма зв’язку у вигляді взаємопов’язаних регресій:

Представимо систему регресій у прогнозній (приведеній) формі:

Для оцінки параметрів прогнозної форми системи регресій використаємо МНК для кожної з них.

Позначимо через:

Тоді отримаємо таку систему нормальних рівнянь:

Отже, матриця параметрів прогнозної системи регресій буде:

Нам відомо, що якщо параметри структурної форми (18.20) одночасно визначаються через параметри прогнозної форми (18.21) системи регресій, то така економетрична модель є ідентифікованою.

615

Якщо число оцінюваних параметрів структурної форми регресій більше числа оцінюваних параметрів прогнозної форми, тобто число оцінюваних параметрів прогнозної форми регресії більше числа рівнянь, то система є неіндефікованою.

Параметри прогнозної форми є комбінацією всіх параметрів структурної форми регресій. За параметрами прогнозної форми не можна робити висновок про взаємозалежність ендогенних величин, оскільки при переході до прогнозної форми регресії вони розподіляються на екзогенні величини та відхилення. З іншого боку, структурна форма непридатна для визначення прогнозних значень ендогенних величин, тому що в правій частині регресії знаходяться значення ендогенних величин.

Розглянемо методику розрахунку параметрів структурної форми регресії через параметри прогнозної форми. Економетричну модель (18.21) представимо у такому вигляді:

де В – матриця параметрів при ендогенних величинах структурної форми системи регресій, А – матриця параметрів при екзогенних величинах структурної форми системи регресій, Х – матриця екзогенних величин, Y – матриця ендогенних величин. Тоді прогнозна форма системи регресій матиме вигляд:

Запишемо структурну форму регресій у вигляді матричного рівняння:

616

Знайдемо добуток матриць В і С та прирівняємо його до матриці

А:

З цієї системи знайдемо параметри оцінки елементів матриць В і

А:

Розглянемо МНК для системи з n регресій. Припустимо, що нам задана повна економетрична модель. Тобто для неї виконуються такі умови:

1)число рівнянь регресій рівне числу ендогенних величин;

2)система має всі змінні, які суттєво впливають на сумісно залежні ендогенні величини;

3)визначник матриці, складеної з коефіцієнтів при ендогенних величинах системи регресій у структурній формі, відмінний від нуля, тобто систему можна розв’язати відносно ендогенних величин.

Припустимо, що ми маємо повну систему регресій структурної форми з n ендогенними величинами та m екзогенними величинами.

Якщо економетрична модель ідентифікована, то для оцінки параметрів приведеної системи регресій можна застосувати НМНК.

617

Економетрична модель буде ідентифікованою, якщо буде ідентифікованою кожна регресія системи регресій, тобто буде виконуватися умова:

n + m −(ni + mi )≥ n −1, або ni −1 ≤ m-mi ,

де ni – кількість залежних ендогенних змінних, які входять в і-те рівняння; mi – кількість екзогенних змінних, які входять в і-те рівняння; m – загальна кількість ендогенних змінних моделі.

Припустимо, що система регресій ідентифікована. Для оцінки параметрів цієї системи регресій застосовуємо НМНК. Введемо такі позначення:

Звідси, структурна система регресій у матричній формі буде:

B Y + A X +U = 0. (18.33)

Якщо det B ≠ 0 , то систему регресій можна розв’язати відносно ендогенних величин. Для цього запишемо систему регресій у прогнозній (приведеній) формі:

Для оцінки параметрів матриці С прогнозної системи регресій (18.34) застосуємо МНК. Отримуємо матрицю оцінок:

618

Розписавши добуток матриць, отримаємо систему рівнянь, з якої знайдемо елементи матриць В та А.

18.6. Двокроковий метод найменших квадратів (ДМНК)

У тих випадках, коли рівняння структурної форми моделі надідентифіковане, то для оцінки параметрів регресій використовують двокроковий метод найменших квадратів (ДМНК). Він є звичайним МНК для оцінки параметрів структурного рівняння, який проводять у два етапи. ДМНК дозволяє оцінити параметри одного регресійного рівняння з врахуванням його взаємозв’язків з іншими рівняннями.

Припустимо, що нам задано структурне рівняння виду:

де yi – вектор спостережень над сумісно залежною змінною, яка визначається за допомогою i-го структурного рівняння; Yi – матриця, яка складається з векторів ендогенних змінних, що входять у праву частину і-го рівняння системи; Xi – матриця, яка складається з векторів ендогенних змінних системи, що входять у і-те рівняння (включаючи вільний член); X – матриця, яка складається з векторів всіх ендогенних змінних системи; bi – вектор оцінок параметрів залежних змінних, які містяться у матриці Yi; ai – вектор оцінок параметрів наперед визначених змінних матриці Xi; ui – вектор залишків і-го структурного рівняння для всіх періодів спостережень.

619

Нехай на основі правила рахунку рівняння (18.38) ідентифіковане. Сумісно залежні змінні, які містяться в матриці Yi не є стохастично незалежними відносно залишків і-го структурного рівняння ui. Тому безпосереднє використання МНК призведе до необґрунтованості оцінок. Основна ідея ДМНК полягає у заміні

ˆ

матриці Yi матрицею оцінок Yi (матриця значень регресії). Завдяки

даній процедурі, змінні, які містяться в матриці, набувають характеру наперед визначених змінних, і тоді використання МНК дає задовільний результат.

Отже, на першому кроці використання ДМНК полягає у

ˆ

визначенні матриці значень регресій Yi . Для цього будується зведена

наперед визначені змінні моделі.

ˆ

Значення регресій матриці Yi незалежні від збурених змінних

приведеної та структурної форм, оскільки вони є лінійними функціями тільки від наперед визначених змінних. Таким чином, окремі рівняння (18.40) являють собою множинну регресію, для якої виконуються передумови регресійного аналізу.

Далі використаємо МНК для оцінювання параметрів матриці ci:

Отже, поставлена задача на першому кроці виконана.

ˆ

На другому етапі матрицю Yi в (18.39) замінюють матрицею Yi з врахуванням (18.40):

де ei = ui +Vi ai .

У результаті таких перетворень рівняння (18.43) в правій частині містить тільки наперед визначені змінні, оскільки матриці Xi містять

620