Navch._posibnuk_Ivaschyk

•дослідження доцільності виключення факторів із моделі з допомогою коефіцієнта детермінації.

Для реалізації шостого етапу доцільно використати метод покрокової регресії.

7. Перевірка адекватності моделі.

Цей етап аналізу містить:

•оцінку значимості коефіцієнта детермінації;

•перевірку якості підбору теоретичного виду рівняння;

•обчислення спеціальних показників, які використовуються для характеристики впливу окремих факторів на результативний показник.

8. Економіко-математичний аналіз отриманих результатів та їх економічна інтерпретація.

Результати регресійного аналізу порівнюються з гіпотезами, сформульованими на першому етапі дослідження, і оцінюється їх правдоподібність з економічної точки зору.

9. Побудова прогнозних сценаріїв.

Отримане рівняння регресії використовується для прогнозування сценаріїв розвитку відповідних економічних процесів чи явищ. Прогноз отримаємо внаслідок підстановки в модель певних значень факторів.

16.2.Передумови застосування методу

найменших квадратів

При використанні МНК для знаходження оцінок параметрів лінійної багатофакторної моделі потрібно використовувати ряд передумов. Насамперед вони стосуються випадкової змінної e, яка є адитивною складовою, враховуючи помилки вимірювання та специфікації. Ці передумови мають загальний характер і не зв’язані ні з обсягом вибірки, ні з числом включених в аналіз змінних. Перелічимо найбільш суттєві умови, які необхідні для оцінки параметрів моделі МНК:

1. Математичне сподівання залишків дорівнює нулю.

При побудові функції регресії припускається, що результативна змінна Y залежить тільки від пояснювальних змінних x j (j =1;m), які

включені в регресію. Таким чином, при заданих значеннях змінних xj на змінну Y не впливають жодні систематично діючі фактори та випадковості. Сумарний ефект від дії на залежну змінну

471

неврахованих факторів і випадковостей враховується збуреною змінною e. При цьому робиться припущення, що для фіксованих значень змінних xj середнє значення збурення e рівне нулю: M (ei )= 0

або для матричної форми

величин ei.

Значення ei вектора збурення e не залежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто:

(16.18)

Ця властивість збурюючої змінної e називається гомоскедастичністю. Для кожного об’єкта спостережень у статиці, а при розгляді часових рядів – у різні періоди часу, ці невраховані фактори виявляють одинаковий вплив. Властивість гомоскедастичності може виконуватися лише за умови, що залишки є похибками вимірювання. Якщо залишки нагромаджують загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то зрозуміло, що дисперсія залишків не може бути сталою величиною. У такому випадку маємо справу з явищем гетероскедастичності.

3. Відсутність автокореляції між випадковими величинами e. Значення випадкової змінної e попарно некорельовані, тобто

При дотриманні пункту 6 окреслена умова зводиться до попарної незалежності. Вона є суттєвою у випадку, для якого вихідні дані є часовим рядом. Якщо збурюючі змінні містять тренд або циклічне коливання, то послідовні збурення, які діють у різні моменти часу, корельовані. Такий вид кореляції називають автокореляцією збурень або залишків.

Умови 2 і 3 можна узагальнити, використавши матричну форму запису:

де E – одинична матриця порядку n. Добуток ee′ є симетричною матрицею порядку n. Загальний вигляд математичного сподівання ee′ записується так:

472

Елементи, що стоять на головній діагоналі матриці 16.21 є дисперсіями, а поза головною діагоналлю – коваріаціями. Враховуючи умови 2 і 3, вираз (16.21) матиме вид:

4. Незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів. Усі пояснювальні змінні, що входять до економетричної моделі мають бути незалежними між собою.

При знаходженні оцінок параметрів у регресії МНК система нормальних рівнянь має розв’язок тільки при існуванні оберненої

спостережень (обсяг вибірки) повинно перевищувати число параметрів (n > m), в іншому випадку оцінити параметри неможливо.

Таким чином, визначник матриці X ′X повинен бути відмінним від нуля: det (X ′X )≠ 0 , що є необхідною і достатньою умовою існування оберненої матриці (X ′X )−1 . Звідси випливає твердження,

що між пояснювальними змінними не повинна існувати лінійна залежність, оскільки для такого випадку rg = 0.

Наявність лінійного зв’язку між пояснювальними змінними називається мультиколінеарністю. Це явище приводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та конкретного набору даних. Далі розглянемо методи виявлення мультиколінеарності та способи їх усунення.

5. Пояснювальні змінні не повинні корелювати із збурюючою

473

Зазначена умова полягає в тому, що змінна x j (j =1;m) пояснює

змінну Y, але зворотне твердження відсутнє, тобто змінна Y не пояснює змінні xj. Отже, припускається існування односторонньої залежності змінної Y від xj i відсутність взаємозв’язку.

параметрів регресії дотримання цієї умови не є обов’язковим. Використання статистичних критеріїв при перевірці значимості рівняння регресії та окремих коефіцієнтів регресії, побудова довірчих інтервалів допускає використання окресленої умови.

Отже, для знаходження оцінок параметрів моделі методом регресійного аналізу необхідно щоб виконувались перелічені вище передумови. Крім того, знайдені оцінки повинні володіти такими властивостями: незміщеності, обґрунтованості, ефективності та інваріантності.

16.3. Узагальнений метод найменших квадратів

Умова (16.15) є компактним записом двох передумов (2 і 3), в силу яких збурення має постійну дисперсію, а автокореляція відсутня. При дотриманні припущення (16.17) можна узагальнити

(16.19), поклавши

(16.24)

де σe2 залишається невідомим параметром, D – відома симетрично

додатньо визначена матриця порядку n. Припущення (16.24) означає, що дисперсія та коваріація елементів, що утворюють збурення e, відомі з точністю до множника. Матриця M (ee′) за умови (16.24) не

має форми (16.22), а є діагональною матрицею з нерівними елементами. Може статися, що нерівні нулю позадіагональні елементи, тобто коваріації збурюючих членів: M (ee′) для всіх i та

s ≠ 0. У такому випадку мова йде про автокореляцію збурень. Така ситуація виникає при помилковій специфікації форми залежності між змінними.

Наприклад, при знаходженні лінійної залежності між y і x дійсна залежність виявилась квадратичною. Навіть якщо збурення в

474

дійсному співвідношенні не будуть автокорельовані, то квазізбурення, що супроводжуються лінійною формою зв’язку, будуть містити член залежний від x2.

Кореляція послідовних значень збурень проявляється так само при існуванні кореляції між послідовними значеннями будь-якої пояснювальної змінної.

Якщо має місце той чи інший випадок, то формула (16.12) для знаходження оцінок параметрів не застосовується і для отримання їх необхідно змінити процедуру оцінювання.

Основна ідея полягає у перетворенні спостережень Y i X у нові змінні Y та X , які би задовольняли припущення (16.17) та (16.19):

(16.25)

де M (e )= 0; M e e ′ = σe2 E .

Для використання статистичних критеріїв перевірки значимості параметрів регресії та рівняння у цілому і при побудові довірчих інтервалів повинна дотримуватися умова про нормальність розподілу

збурення з параметрами N(0,σe2* E). До перетворення змінних Y і X

тепер можна застосувати МНК у його класичному варіанті. Потім оцінки знову можна виразити через початкові змінні. Оцінювання можна провести декількома еквівалентними способами. Розглянемо спосіб, який базується на розкладі матриці D.

Додатньо визначена матриця допускає представлення у вигляді добутку PP′. Апарат матричної алгебри дає можливість знайти єдину

475

тобто (16.29) задовольняє всі передумови використання звичайного МНК.

Скористаємося знайденим раніше розв’язком системи нормальних рівнянь (16.15):

Визначена за допомогою (16.31) оцінка A є оцінкою узагальненого МНК(оцінка Ейткена).

16.4. Багатофакторна регресія та її оціночні характеристики

Процес побудови багатофакторної регресійної моделі потребує дотримання певної сукупності умов, як загального, так і особливого характеру відносно рівня адекватності. Такі умови, на жаль, часто ігноруються у деяких наукових розробках, при побудові прикладних моделей функціонування конкретних економічних систем та об’єктів. Особливо це стосується етапу апріорного аналізу.

Опишемо основні умови, які необхідно враховувати при побудові багатофакторних моделей достатнього рівня адекватності.

1)При відборі факторів для моделі, їх кількість повинна бути мінімальною, але достатньою для повної економічної характеристики результативного показника. Відібрані фактори описуються тільки однією характерною ознакою, тим самим включається дублювання показників. Фактори у зв’язку «причина-наслідок» повинні займати один і той же ієрархічний рівень – бути тільки первинними, чи тільки другорядними. Тут важливо, щоб їхнім виміром були не атрибутивні,

атільки кількісні ознаки.

2)При побудові регресійних моделей між вибраними показниками не повинен мати місце функціональний зв’язок.

3)Значний вплив на стійкість та достовірність моделі має репрезентативність і обсяг вибірки. В більшості випадків пропонується, щоби число одиниць досліджуваної сукупності

476

задовольняло умову шести та більш кратного перевищення його над числом незалежних змінних.

4) Вхідна інформаційна база повинна бути однорідною як в якісному, так і в кількісному відношенні. Якісна однорідність – це однорідність, наприклад, промислових підприємств регіону відносно випуску основного виду продукції, рівня оподаткування та кооперації. Кількісна однорідність полягає в досягненні відсутності у вибірковій сукупності аномальних результатів, наявність яких можна виявити з допомогою, наприклад, коефіцієнта варіації чи τ-критерію.

Якщо коефіцієнт варіації деякої сукупності становить більше 33%, то її можна вважати неоднорідною і з неї необхідно вивести аномальні результати. Спочатку слід виключити той об’єкт, для якого показник Xi чи Yi мають найбільше відхилення в більшу або меншу сторону від свого середнього значення. Згадана процедура проводиться доти, поки сукупність не буде відповідати зазначеній умові для кожного факторного та результативного показників.

При використанні τ-критерію однорідність досягається тоді, коли після перевірки «крайніх» значень фактична величина окресленого критерію не стане меншою за його критичну.

Крім цього, для досягнення однорідності, можна використати метод групування.

5) Кожному значенню факторного показника Xi повинен відповідати нормальний розподіл результативного Y з однаковою дисперсією. Тобто емпіричний розподіл цих показників повинен бути близьким до нормального закону. Для перевірки цієї гіпотези можна використати критерії Пірсона, Колмогорова та ін. Їх, як правило, використовують для згрупованих даних, а для незгрупованих доцільно користуватися «правилом трьох сигм». Зміст його полягає в тому, що вхідні дані підлягають закону нормального розподілу, якщо в інтервалі [−3σ; 3σ] знаходиться 99,8 % числа спостережень

сукупності.

Якщо вхідні дані розподіляються за іншими законами (Пуассона, біноміальний та ін.), тоді проведення кореляційнорегресійного аналізу не дасть позитивних результатів. У такому випадку побудована модель буде мати фіктивний характер.

6) Апроксимуюча функція повинна бути найбільш адекватною до процесу дослідження та статистично значима. Тому вибір форми зв’язку є найбільш важливим і відповідальним моментом при побудові моделі, що в свою чергу потребує системного підходу в

477

процесі дослідження. Статистична значимість побудованої функції оцінюється з допомогою критеріїв Фішера та Стьюдента, коефіцієнтів кореляції та детермінації.

Якщо згадані критерії для різних форм зв’язку відрізняються між собою незначно, то перевагу необхідно віддати простішій функції, як наслідок, вона більш зрозуміла при інтерпретації її характеристичних параметрів.

7) Модель повинна бути позбавлена впливу мультиколінеарності, яка значно погіршує її якість. Для виявлення мультиколінеарності необхідно побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції і на її основі оцінити тісноту взаємозв’язку між вибраними факторами. Наявність або відсутність колінеарного зв’язку можна оцінити з допомогою системи нерівностей:

де rYXi ,rYX j ,rXi X j – коефіцієнти парної кореляції взаємозв’язку

відповідних змінних.

Якщо розраховані значення коефіцієнтів парної кореляції задовольняють цю систему, то можна стверджувати про відсутність колінеарності. В протилежному випадку необхідно позбутися мультиколінеарності з допомогою відомих процедур, які подамо в наступних розділах.

Незважаючи на трудомісткість процесу моделювання метод кореляційно-регресійного аналізу дає можливість одержати досить стійкі та надійні моделі, за умови дотримання перелічених вище умов.

Оціночне рівняння (16.2) економетричної моделі інколи поєднують із поняттям виробничої функції. Формально загальне визначення виробничої функції можна дати як функції, яка кількісно описує існуючі взаємозв’язки та взаємозалежності між результативними показниками функціонування деякого економічного процесу або явища і чинниками під впливом яких вони формуються за умови, що хоча би частина останніх є керована. До основних показників можна віднести дохід, прибуток, обсяг податкових надходжень, валову продукцію, рентабельність, продуктивність праці, собівартість та ін.

Виробничі функції найперше почали використовувати для дослідження причинно-наслідкових відносин виробних процесів у

478

сфері мікроекономіки. Потім вони стали дуже популярним і ефективним, певною мірою інструментом, економетричного аналізу економічних процесів і явищ як на мезо-, так і на макрорівнях. Така тенденція пояснюється доступністю виду цих функцій і широкими можливостями їх використання в різних ситуаціях завдяки активному розвитку засобів обчислювальної техніки та ринку прикладних програмних продуктів.

Одержана виробнича функція буде мати теоретичне і прикладне використання тільки в тому випадку, якщо вона побудована з врахуванням усіх логічних вимог і передумов використання кореляційних методів. До основних принципів побудови виробничих функцій відносяться: відповідність кількісного та якісного аналізу; принцип єдиного базису; допустима мультиколінеарність; рівноправність чинників; доступність і достовірність даних. Вид виробничої функції визначається видом алгебраїчного рівняння, з допомогою якого описується її математична модель.

Розглянемо основні характеристики виробничої функції, заданої у вигляді:

yˆ = f (x1, x2 ,…, xm ).

Першою характеристикою для довільного j-го показника (ресурсу) є його середня продуктивність при фіксованих обсягах інших ресурсів, яка визначається за формулою:

де Cj – середня продуктивність j-го виду ресурсу; f (x1 ,x2 ,…,xm ) –

середнє значення результативного показника; xj – середнє значення

j-го чинника.

Другою характеристикою є гранична продуктивність (віддача, ефективність) j-го виду ресурсу, яка характеризує приріст результату виробництва при одиничному прирості j-го ресурсу і визначається таким чином:

Наприклад, якщо результативний показник відображає обсяг прибутку (млн. грн.) залежно від вартості основних виробничих фондів (млн. грн.) і витрати продукції (млн. люд-год.), то гранична

479

продуктивність першого фактора показує величину зміни результативного, при одиничній зміні факторного (на 1 млн. грн.).

Представляє інтерес з’ясування характеру зміни граничної продуктивності зі зміною обсягу j-го при незмінному обсязі інших ресурсів. З цією метою знайдемо:

зростає, а в протилежному випадку гранична продуктивність – спадає. Третя характеристика – відносна зміна результату виробництва на одиницю відносної зміни витрат j-го ресурсу. Цей показник

називається еластичністю випуску з витрат j-го ресурсу:

Коефіцієнт еластичності j-го виду ресурсу показує, на скільки процентів зміниться результативний показник (прибуток) при зміні факторного (вартість основних виробничих фондів) на один процент.

Додатні коефіцієнти при збільшенні факторного показника означають збільшення результативного показника, а від’ємні, навпаки, зменшення.

Четверта характеристика – потреба в j-му ресурсі за умови, що відомі величини випуску та обсягів інших ресурсів:

x j = f j (y,x1 ,x2 ,x j−1 ,x j+1 ,…,xm ).

П’ята характеристика – норма заміщення ресурсу. Для довільної пари ресурсів k та j можна визначити граничну норму hkj заміщення j-

го ресурсу k-им. Ця величина є співвідношення, взяте зі знаком «–», граничних продуктивностей j-го та k-го ресурсів:

Шоста характеристика – еластичність заміщення, яка є

Приклад 16.1. Оцінити параметри економетричної моделі, яка описує залежність обсягу отриманого прибутку підприємствами

480