Стратегія вибору вікна диктується компромісом між зміщенням через перешкоди в галузі ближніх пелюсток і перешкод в області віддалених. Так, якщо близькі за амплітудою спектральні компоненти сигналу розміщені і близько, і на віддалі від слабкої компоненти, то необхідно вибрати вікно з однаковим рівнем бічних пелюсток. Якщо є одна сильна компонента, що віддалена від слабкої компоненти сигналу, то необхідно вибрати вікно з швидко спадним рівнем бічних пелюсток. У тому випадку, коли необхідно забезпечити високу роздільність між дуже близькими компонентами сигналу, а віддалені компоненти відсутні, потрібне вікно з дуже вузькою головною пелюсткою та мінімальною амплітудою близьких бічних пелюсток. При достатньо гладкому спектрі сигналу вікна можна не використовувати.
Часом для одержання добре згладженого спектра короткого часового ряду і підвищення точності оцінювання частоти спектральних піків доповняють нулями вхідну часову послідовність.
У результаті такого доповнення в спектрі з’являються m = Nn
проміжних значень, де n – число додатних нулів; N – початкова довжина часового ряду. Таке доповнення не підвищує реальний дозвіл за частотою, тобто не дозволяє виділити додаткові спектральні піки. Крім цього, воно часом приводить до появи фантомних піків на низьких частотах.
Для усунення шумів складових у спектрі нерідко використовують методи усереднення. Одним із перших запропонованих методів є метод Даніеля або метод усереднення за частотами, який використовується для згладжування швидких флуктуацій вибіркового спектра за сусідніми частотами.
Метод Барлетта або усереднення за ансамблем оснований на розбитті початкової реалізації сигналу на послідовні сегменти, що не перетинаються, з наступним усередненням їх спектральних характеристик. Цей прийом дає можливість отримати гладку оцінку спектра для всієї аналізованої полоси частот.
У комбінованому методі Уелча підхід Бартлетта використовується для сегментів, що перекриваються, з використанням вікна для зменшення ефекту витікання і зміщення оцінок. Мета перекриття сегментів полягає у збільшенні числа усереднених сегментів при заданій довжині запису даних і зменшенні
дисперсії оцінки спектральної густини. Найкращі результати зменшення дисперсії отримують при використанні вікна Ханна, яке дає 65 % перекриття.
Окрім цього, усереднення за ансамблем може проходити з використанням трьох алгоритмів:
1)лінійного: кожне нове значення додається з рівною вагою;
2)експоненціального: пізніше значення має більшу вагу;
3)пікового: нагромаджуються тільки екстремальні значення.
17.1.4. Згладжування та фільтрація
Методи згладжування та фільтрації призначені для перетворення часового ряду Y(t) із вилученням з нього високочастотних, низькочастотних або сезонних коливань.
Після запуску процедури в типовому бланку необхідно з ЕТ вибрати змінну, яка є аналізованим часовим рядом. У випадку робастного згладжування з меню (рис. 17.1.4.1-17.1.4.2) необхідно вибрати тип вікна, насамперед установивши значення двох параметрів:
hширину вікна у вигляді числа вимірювань, які в нього потрапили;
hзначення константи Хубера.
Метод робастного згладжування можна використовувати також для експериментальних залежностей, оскільки він допускає, що крок для Х може бути не тільки постійним (у випадку часового ряду), але й змінним.
Видача результату містить значення перетвореного часового ряду і графік згладжуючої кривої з накладанням у виді точок значень часового ряду. Отримані результати можна перенести в ЕТ для подальшого аналізу та побудови комплексних графіків з числовою видачею результатів через буфер обміну або прямо з графіків даних натисканням кнопки «Сохр.Граф».
Сглаживание
1=линейное 3 тчк |
Оператор В:B[x[t]]=x[t-1] |
2=линейное 5 тчк |
(B-1+1+B)/3 |
|
3=Квадратичное 5 тчк |
(B^-2+B^-1+1+B+B^2)/5 |
4=экспотенциальное |
(B^2+2*B^-1+4+2*B+B^2)/10 |
5=робастное Хубера |
WW*B+(1-W)*x(t) |
W=0.5 |
Фильтрация |
|
|
6=дифференцирование |
1-B |
|
7=а-раз.дифференц. |
(1-B)^a |
a= 2 |
8=а-сезон.дифференц. |
1-B^a |
|
9=интегрирование |
1+B |
|
А=2-интегрирование |
(1+B^2)/2 |
|
В=а-шаговое интегрир |
(1+…+B^a)/(a+1) |
|
C= дифференц-интегрир |
1-B+B^2 |
|
D=дифференц-интегрир |
1-SQR(3)*B+B^2 |
|
E=интегрирование |
(1+ SQR(3)*B+B^2)/(2+SQR(3)) |
Рис. 17.1.4.1. Меню вибору методу згладжування (фільтрація)
Тип окна сглаживания
1= Прямоугольное
2= Треугольное
3= Епанечникова
Ширина= 5
Константа= 10
Рис. 17.1.4.2. Меню вибору методу робастного згладжування
Вибір методу згладжування залежить від характеру часового ряду і має емпіричний характер послідовного підбору.
При робастному згладжуванні оптимальний вибір вікна визначається степенем гладкості відновлювального процесу (сигналу). Якщо відомо, що сигнал двічі неперервно диференційований, то рекомендується використовувати параболічне вікно. Для менш гладких сигналів виграш досягається при використанні трикутного чи прямокутного вікна.
Ширину вікна бажано вибирати так, щоб у нього потрапляло не менше 2-3 значень початкового ряду, але не більше четвертини завакьмово!інтервалу значень Х. Необхідно враховувати, що збільшення вікна призводить до росту зміщення оцінки (і до збільшення обсягу обчислень), а зменшення – до росту її дисперсії.
553
Константа Хубера С може бути вибрана порядку одно-трьох стандартних відхилень шуму сигналу. При цьому чим вища інтенсивність присутності викидів на фоні шуму, тим менше повинно бути значення С. Для сильно зашумлених сигналів (шуми й викиди важко розрізнити) рекомендується медіанне згладжування з С=0.
17.1.5. Фур’є-моделі
Окреслений метод служить ефективним засобом моделювання нестаціонарних часових рядів, які мають виражені гармонічні складові. До подібних рядів можна звести й багато кривих росту після усунення тренду. Фур’є-моделі є багатоцільовими й можуть використовуватися як для прогнозування, так і для фільтрації чи згладжування часових рядів.
Розглянутий метод базується на Фур’є-перетворенні з часової області в частотну (спектральну) область (одержання амплітудночастотної та фазочастотної характеристики (ФЧХ)) і зворотно (відновлення початкового часового ряду). Неможливість прямого використання АЧХ та ФЧХ для прогнозування визначається тим, що вони містять повну інформацію про часовий ряд і прогноз є точним повторенням часового ряду з його початку. Зазначений вихід – це зниження ступені густини відтворення інформації про часовий ряд в АЧХ і ФЧХ. Тому цінність такої пропозиції полягає у методиці побудови спектральної моделі шляхом виключення із спектра незначних і шумових складових та наступної адаптації такої моделі до вхідного часового ряду.
Далі спектральна модель однозначно перетворюється у часову область, у результаті чого одержуємо, власне, модель часового ряду, яка відображає основні гармонічні складові. Окреслену модель можна використовувати для прогнозування або як результат фільтрації часового ряду, а ступінь адекватності моделі можна оцінити звичайними статистичними методами.
Таким чином, ця методика містить два етапи: побудова спектральної моделі та її адаптація.
Основними інструментами при побудові спектральної моделі є такі характеристики:
hекспоненціальне усереднення спектральних характеристик; hпослідовна фільтрація – вилучення із спектра всіх складових у
заданому діапазоні частот;
hочищення спектра – вилучення з нього всіх низько амплітудних гармонійних складових, які не перевищують заданий рівень.
Зазначені інструменти є взаємодоповнюючими, їх можна використовувати незалежно або в довільних комбінаціях один із одним.
Для усереднення задається число поділів часового ряду. Кожний поділ є відрізком вдвічі коротшим від попереднього і приєднаним до кінця часового ряду. На кожному відрізку незалежно обчислюються частотні характеристики й проводиться їх експоненціальне усереднення, тобто наступні відрізки мають і більші ваги. Внаслідок цього усереднення у спектрі в більшій ступені проявляються високочастотні складові, характерні для часових відрізків, які лежать близько до дійсного (кінцевої точки часового ряду). Початкові відрізки виявляють довгохвильові складові.
Адаптація моделі здійснюється шляхом послідовного наближення трьох параметрів (амплітуди, фази, частоти) кожної спектральної складової до часового ряду за критерієм найменших квадратів. У випадку проведеного усереднення адаптація проводиться за кінцевим відрізком часового ряду, що дозволяє ще раз скоректувати модель. При відсутності усереднення адаптація проводиться для всього часового ряду.
Розглянемо основні кроки використання окресленої процедури.
1.Після запуску процедури в типовому екранному бланку (рис. 17.1.3.1) необхідно вибрати змінну з ЕТ, яка представляє аналізований ряд.
2.На екран видається графік АЧХ для наглядного вивчення та визначення тих спектральних складових, які можна вилучити з моделі, інтерпретуючи їх як незначні чи шуми. Після вивчення графік можна знищити на екрані або залишити в картотеці вибором із очікуваного меню верхньої частини екрану. Далі аналіз продовжується.
3.В екранному бланку параметрів уточнення Фур’є-моделі (рис. 17.1.5) можна здійснити введення таких значень:
hчисло кроків прогнозу розвитку часового ряду за Фур’є- моделлю, при нульовому значенні параметра прогноз не будується;
hознака необхідності адаптації Фур’є-моделі до часового ряду, при відсутності ознаки адаптаційний механізм не вмикається;
Параметры
|
|
Прогноз= |
36 |
|
Адаптация |
|
|
|
|
|
|
Усреднений |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Фильтр: низ= |
0 |
Верх= |
0 |
|
|
|
Ампл. порог= |
|
0.01 |
|
|
|
|
|
|
aУтвердить |
|
|
|
r Отменить |
|
Рис. 17.1.5. Бланк уточнення Фур’є-моделі
hчисло поділів часового ряду для експоненціального усереднення (0–4), де значення 1 відповідає поділу на відрізки довжиною 1 чи ½, значення 2 – поділу на відрізки 1, ½ , ¼ і т. д, при значенні 0 усереднення не проводиться;
hверхня та нижня межі діапазону частот вилучення спектральних складових (фільтрація), при нульових або некоректних значеннях фільтрація не проводиться;
hамплітудний поріг, нижче якого вилучаються всі спектральні складові, при нульовому значенні очищення спектру немає.Задіяна кнопка «Утвердить» продовжує подальший аналіз відповідно до встановлених параметрів, а натискання на «Отменить» приводить до завершення роботи процедури. В останньому випадку отримані розрахунки можна використати як результати фільтрації або згладжування часового ряду.
4.У випадку відсутності прогнозування числові результати видаються послідовністю значень часової моделі аналізованого ряду та середньоквадратичного шуму (середньоточкова відмінність моделі від вхідного початкового ряду), а також сумісний графік часового графіка та часової моделі.
Далі здійснюється повернення до пункту 2 з видачею графіка АЧХ спектральної моделі. Такий цикл дозволяє послідовно вилучати
змоделі окремі спектральні складові, збільшити усереднення та додати адаптацію й наглядно оцінити отриманий результат .
5.У випадку наявності прогнозу видається запит про аналіз залишків, тобто різниць між моделлю та часовим рядом. При позитивній відповіді на цей запит числові результати видаються таблицею значень таких показників:
ХYэксп Yмод Остаток Ст.остаток Ст.ошиб. Довер.инт.
556
Потім видається графік регресійних залишків для послідовних точок часового ряду. Призначення показників і формули для їх обчислення аналогічні методу простої регресії .
Залишки можна перенести з графіка в ЕТ для подальшого аналізу натисканням кнопки «Сохр. Граф».
6. Видається таблиця параметрів Фур’є-моделі, яка містить такі значення:
Амплитуда Период Фаза
Потім видається таблиця прогнозу, що заповнена такими показниками (призначення показників та формули обчислення аналогічні методу простої регресії):
Хпрогн Yпрогн Ст.ошиб. Довер.инт.
На кінець видається графік часового ряду, поєднаний з графіком часової моделі з зоною прогнозу. У зоні прогнозу вказані лінії верхньої та нижньої меж довірчого інтервалу прогнозних значень.
Отримані результати можна перенести в ЕТ для подальшого аналізу та побудови комплексних графіків з числовою видачею результатів через буферний обмін або безпосередньо з графіка натисканням кнопки «Сохр. Граф».
17.2.Загальна характеристика моделей із лаговими змінними
Економетрична модель називається динамічною, якщо вона враховує значення змінних, які входять до неї, як за поточний, так і за попередній період часу. Таким чином, динамічні економетричні моделі відображають динаміку досліджуваних факторів у кожний момент часу.
В економіці часто маємо ситуації, за яких ефект від прийнятих рішень або результат від здійснених дій проявляється не відразу, а з певною затримкою в часі, інакше кажучи, лагом.
Розглянемо, наприклад, лінійну парну економетричну модель: y=a+bx+e(x),
де y – рівень споживання, x – дохід. Ця модель аналізує вплив доходу на рівень споживання. Зауважимо, що цей вплив є не постійним, а змінним у часі, так як збільшення доходів збільшує рівень споживання найбільшим чином у найближчі періоди часу. Для
аналізу розглянемо показник граничної норми споживання (ГНС), який вимірює зміну рівня споживання при збільшенні доходу на одну грошову одиницю. Наприклад, нехай окреслений показник рівний 0,75. Коефіцієнт, який дає максимально можливе збільшення
|
споживання, визначається як |
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
= 4 . Таким чином, |
|
1 |
− ГНС |
1 |
−0,75 |
|
|
|
|
збільшення доходів на 1 грн. зумовлює сумарне збільшення споживання на 4 грн. Але це збільшення споживання відбувається не одночасно із збільшенням доходів і не в усьому обсязі. Крім цього, воно залежить від інтервалу часу. Якщо у першому періоді споживання збільшиться на 1 грн., то у другому – на 0,75 грн. (0,75×1), у третьому – на 0,56 грн. (0,75×0,75), у четвертому – на 0,42
грн. (0,75×0,56) і т.д. Сумарна зміна споживання становить 4 грн. У результаті вплив збільшення доходів у поточному періоді на рівень споживання є дедалі меншим із збільшенням проміжку часу.
Аналогічні приклади мають місце в будь-якій іншій області економічного аналізу. При дослідженні економічних процесів нерідко доводиться моделювати ситуації, коли значення результативного показника в поточний момент часу t формується під дією факторів, які діяли в минулі моменти часу t–1, t–2,…, t–τ . Наприклад, на поступлення від реалізації чи прибуток компанії поточного періоду можуть впливати витрати на рекламу або проведення маркетингових досліджень, проведені компанією в попередніх періодах. Збільшення грошової маси в обігу протягом декількох місяців прискорює інфляцію, стимулюючи при цьому ріст виробництва в початковий момент. Інвестиції спочатку матеріалізуються в приріст обсягу незавершеного будівництва, а вже пізніше збільшують виробничий потенціал. Таким чином, вплив однієї економічної змінної на іншу розподілений у часі. Це спонукає нас вивчати не тільки структурні, але й часові взаємозв’язки між економічними факторами. У таких випадках ми маємо справу з розподіленим лагом.
Лаг – це деякий термін часу, через який зміна факторааргументу економетричної моделі зумовлює зміну значень результативного показника.
Формально вважається, що змінна х випереджує змінну y, а змінна y при цьому запізнюється по відношенню до змінної х, якщо в рівнянні регресії виду
yt = a0 + a1 yt−1 + a2 yt−2 +…+ aτ yt−τ +b1xt−1 +b2 xt−2 +…+bτxt−τ + et (17.2)
cукупність коефіцієнтів (b1, b2,…,bτ ) статистично значуща для
деякого n, або ж якщо гіпотезу про те, що всі ці коефіцієнти одночасно рівні нулю можна відкинути при деякому заданому рівні значущості.
Величину τ, що характеризує запізнення впливу фактора на результат, в економетрії називають лагом, а часові ряди самих факторних змінних зсунутих на один або декілька моментів часу –
лаговими змінними.
Розробка економічної політики як на макро-, так і на мікрорівні потребує вирішення задач, які визначають величину впливу значень керованих змінних поточного періоду на майбутні значення економічних показників. Наприклад, як інвестиції в промисловість вплинуть на валову додану вартість цієї галузі економіки майбутніх періодів або як може змінитися обсяг внутрішнього валового продукту (ВВП), виробленого в період t під дією збільшення грошової маси у попередніх періодах.
Економетричне моделювання охарактеризованих вище процесів здійснюється через застосування моделей, які містять не тільки поточні, але й лагові значення факторних змінних.
У лагових моделях є два важливих часткових випадки: моделі з лаговими незалежними (пояснювальними) змінними (моделі із розподіленим лагом)
yt =α + β0 xt + β1xt −1 + β2 xt −2 +…+ βτ xt −τ +εt |
(17.3) |
і авторегресійні моделі з лаговими залежними змінними |
|
yt =α + βxt +γ1 yt −1 +γ2 yt −2 +…+γτ yt −τ +εt . |
(17.4) |
Поряд із лаговими значеннями незалежних або факторних змінних на величину залежної змінної поточного періоду можуть впливати її значення в минулі періоди. Наприклад, споживання в момент часу t формується під дією доходу поточного та попереднього періодів і під дією обсягу споживання минулих періодів. Ці процеси описують за допомогою моделей регресії, які містять в якості факторів лагові значення залежних змінних і називаються моделями авторегресії.
Розглянемо основні причини появи лагових змінних. Причиною появи лагових змінних може бути механізм формування економічних показників: інфляція, яка певною мірою також є інвестиційним процесом; грошовий мультиплікатор (створення грошей у банківській системі) також проявляє себе на певному часовому інтервалі.
Інвестиційні причини пов’язані з тим, що вкладення капіталу, який розширює чи поліпшує матеріальну, технічну, організаційну структуру підприємства, потребує певного часу, перш ніж почнеться процес отримання інвестиційних дивідендів на цей капітал. Зауважимо, що досить важливою є психологічні причини, які є наслідком інертності в поведінці людей. Наприклад, людям властиво витрачати свій грошовий дохід не миттєво, а поступово. При цьому, внаслідок звички до певного способу життя, люди продовжують вживати ті чи інші продукти протягом певного часу (періоду) навіть після зменшення своїх грошових прибутків. Технологічні причини виникнення лагів пов’язані із технічним прогресом та інноваційними процесами.
Побудова моделей з розподіленим лагом і моделей авторегресії має свою специфіку. По-перше, оцінка параметрів моделі авторегресії, а в більшості випадків і моделі з розподіленим лагом не може бути проведена з допомогою звичайного МНК через порушення його передумов і потребує спеціальних статистичних методів. Подруге, аналітикові доводиться вирішувати проблему вибору оптимальної величини лага та визначення його структури. По-третє, між моделями з розподіленим лагом і моделями авторегресії існує певний взаємозв’язок.
17.3. Економетричні моделі розподіленого лагу
Розглянемо модель із розподіленим лагом у її загальному вигляді, припускаючи, що максимальна величина лага є скінченною:
yt = a +b0 xt +b1xt −1 +…+bτ xt −τ +εt . |
(17.5) |
З метою визначення та обґрунтування лагів часу для пояснювальних змінних доцільно використати взаємну кореляційну функцію, що характеризує щільність зв’язку між результативним фактором (y) та фактором-аргументом, значення якого зсунуті на часовий період τ (xt −τ ).
Для знаходження кількісного значення взаємної кореляційної функції використаємо формулу:
