Navch._posibnuk_Ivaschyk

Підставимо отримані значення у вихідну формулу:

Отримані коефіцієнти парної кореляції свідчать про наявність тісного зв’язку між вибраними факторами. Оскільки r12 має досить

високе значення, то є підозра про наявність явища мультиколінеарності.

16.4.3. Частинна кореляція

Коефіцієнти частинної кореляції так само представляють лінійні зв’язки ознак, але при цьому береться до уваги чистий зв’язок пари ознак за умови, що зв’язки всіх інших ознак з ознаками із зазначеної пари не діють. Отже, частинною кореляцією між ознаками xk i xj називається кореляційна залежність між цими ознаками при фіксованих значеннях інших ознак.

491

Для знаходження коефіцієнтів частинної кореляції використаємо альтернативні формули. Нехай число незалежних змінних m = 2 . Тоді мають місце такі формули:

де ry1.2 – коефіцієнт частинної кореляції між змінними y та x1 при виключенні впливу x2; ry2.1 – коефіцієнт частинної кореляції між змінними y та x2 при виключенні впливу x1; ry1 , ry 2 , r12 – відповідно

парні коефіцієнти кореляції.

Аналогічно для випадку m = 3 маємо:

де ry1.23 , ry 2.13 , ry3.12 – коефіцієнти частинної кореляції третього порядку.

Узагальнюючи наведені вище формули для будь-якого числа пояснювальних змінних, отримаємо:

Рекурентне співвідношення (16.54) показує, що обчислення коефіцієнта частинної кореляції порядку m зводиться до визначення таких же коефіцієнтів, але порядку (m −1). Тому при використанні

(16.54) спочатку необхідно знайти парні коефіцієнти кореляції, а потім перейти до обчислення коефіцієнтів вищих порядків.

Великим інтересом є знаходження коефіцієнтів частинної кореляції здопомогоюматричноїалгебри. Представимоматрицю(16.50) так:

де індекс рівний нулю служить для відображення парних коефіцієнтів кореляції залежної змінної та пояснювальних змінних.

492

Тоді буде мати місце загальна формула для коефіцієнта частинної кореляції:

Приклад 16.4. Розрахувати частинні коефіцієнти кореляції, взявши дані із прикладу 16.1.

♦Розв’язування.

Коефіцієнти частинної кореляції обчислюємо за формулами

(16.52):

493

16.5. Оцінка якості економетричних моделей

Якість лінійних економетричних моделей оцінюється стандартним для економіко-математичних задач способом: за адекватністю та точністю. Адекватність регресійних моделей може бути визначена на основі статистичного аналізу залишкової послідовності. При цьому їх значення отримують внаслідок підстановки у модель фактичних значень всіх включених до моделі факторів.

Для оцінки точності регресійних моделей використовуються статистичні критерії значущості Фішера та Стьюдента.

Стандартні помилки оцінок. Якість вибраної функції регресії можна оцінити на основі стандартних помилок або дисперсій залишків оцінок параметрів моделі.

Розглянемо спочатку алгоритм оцінки якості моделі з допомогою залишків послідовності. Стандартна помилка залишків називається також стандартною помилкою оцінки регресії у зв’язку з інтерпретацією величини u (збурення) як результату помилки специфікації функцій регресії.

Збурююча змінна u є випадковою з визначеним розподілом ймовірності. Математичне сподівання цієї змінної рівне нулю, а дисперсія – σu2 на основі передумов застосування МНК. Таким чином,

σu2 – це дисперсія збурення у генеральній сукупності. Проте нам не відомі значення збурення. Про нього можна судити лише на основі залишків e. Знайдена за цими залишками дисперсія σe2 буде оцінкою

дисперсії збурюючої змінної. Тоді незміщену оцінку дисперсії збурення знайдено з формули:

n −(m +1), де n – обсяг вибірки, m – число пояснювальних змінних.

Такий вираз числа ступенів вільності зумовлений тим, що число

494

або в матричній формі:

n

∑ei2 = e′e =Y′Y − A′X ′Y .

i=1

Вираження сум у правій частині (16.58) містяться в робочій таблиці МНК, а оцінки параметрів вже знайдено. Беручи до уваги поняття коефіцієнта детермінації, стає зрозумілим фізичний зміст дисперсії (стандартного відхилення) залишків – це та частка загальної дисперсії σ2y , яка не може бути пояснена залежністю змінної від

факторів x j (j =1,m).

Приклад 16.5. Для економетричної моделі (прикл. 16.1) обчислити незміщену оцінку дисперсії залишків.

♦ Розв’язування.

Незміщену оцінку дисперсії залишків розрахуємо за формулою

(16.38).

495

Тоді

Отже, незміщена оцінка дисперсії залишків буде:

10

∑ei2 =113,6 −112,175 =11425, ≈1,4 .♦

i=1

Тепер перейдемо до розгляду алгоритму оцінки якості моделі з допомогою стандартних помилок або дисперсій оцінок параметрів моделі. При цьому вважаємо, що вже знайдено значення оцінок параметрів моделі. Дані оцінки є випадковими величинами, що мають певний розподіл імовірностей. Можливі значення оцінок розсіюються навколо дійсного значення параметра В. Знайдемо міру розсіювання оцінок параметрів моделі, використавши для цього математичний апарат матричної алгебри. Окреслений апарат допомагає знайти не тільки дисперсії оціночних параметрів А, але й розрахувати значення коваріацій між двома параметрами аk і aj k ≠ j,k = 0,m, j = 0,m . Ці величини служать характеристиками випадкових змінних aj і утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі.

За означенням коваріаційна матриця для оператора А буде:

Для доведення цього твердження виконаємо такі перетворення:

A − B = (X ′ X )−1 X ′Y − B = (X ′ X )−1 X ′(XB +u)− B =

= (X ′ X )−1 X ′XB +(X ′ X )−1 X ′ u − B =

(16.60)

= EB +(X ′ X )−1 X ′ u − B = (X ′ X )−1 X ′ u.

Підставимо отримане значення (16.60) у вираз (16.59). Одержимо:

496

Ця матриця є симетричною і на головній діагоналі містяться

незміщену оцінку σe2 і отримаємо оцінку для матриці σa :

497

Стандартна помилка оцінки параметра регресії використовується для оцінки якості вибору функції регресії. Позначимо її через Sa j , тоді

який характеризує, наскільки вдало обрахована оцінка відповідного параметра моделі. Якщо він малий, то це вказує на її незміщеність, у протилежному випадку – вона зміщена. Невиконання умови M(e)=0 якраз і породжує зміщеність. Така ситуація виникає внаслідок того, що залишки мають систематичну складову, яка викликана некоректною специфікацією процесу дослідження. Отже, чим вища відносна стандартна помилка оцінки параметра, тим більше оцінена величина відрізняється від сукупності значень залежної змінної, і тим менш надійні оцінки прогнозу, розрахованої з допомогою окресленої моделі.

Опишемо основні чинники, від яких залежить стандартна помилка коефіцієнта регресії. Їх можна розділити на різні складові:

1)розсіювання залишків. Чим більша частка варіації значень змінної Y, непояснена її залежністю від x, тим більша стандартна помилка коефіцієнта регресії. Отже, чим більше фактичні значення змінної Y відхиляються від розрахункових значень регресії, тим менш точною є знайдена оцінка параметра;

2)розсіювання значень пояснювальної змінної x. Чим сильніше зазначене розсіювання, тим менша стандартна помилка коефіцієнта

регресії. Звідси випливає, що при витягнутій хмарці точок на діаграмі розсіювання має надійнішу оцінку функції регресій, ніж при незначному скупченні точок, близько розміщених одна від одної.

3) об’єм вибірки. Чим більший об’єм вибірки, тим менша стандартна помилка коефіцієнта регресії. Тут існує безпосередній зв’язок оцінки параметра моделі з властивістю її асимптотичності незміщеності.

Приклад 16.6. Провести оцінку якості економетричної моделі (приклад 16.1) з допомогою процедури стандартних помилок оцінок параметрів моделі.

498

♦ Рoзв’язування.

Стандартні помилки оцінок параметрів моделі. Обчислимо за формулою (16.69)

Далі знайдемо відносний показник розсіювання δaj , тобто порівняємо кожну стандартну помилку Saj з відповідним числовим значенням оцінки параметра.

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів відносно рівня оцінок параметрів становлять відповідно 137,11 %, 20,0 % і 14,86 %, а це є підтвердженням зміщеності оцінок.

Значущість економетричної моделі. Для перевірки адекватності множинної регресійної моделі, як і у випадку парної регресії, використовується F-критерій Фішера. У цьому випадку нульова гіпотеза узагальнюється:

H0: a1 = a2 = ... = am = 0.

499

Тоді альтернативною гіпотезою буде Н1 : хоча б одне значення aj відмінне від нуля. У випадку невиконання гіпотези Н0 приймається гіпотеза Н1. Отже, не всі параметри незначною мірою відрізняються від нуля. Це свідчить про те, що включені до моделі фактори пояснюють змінну результативного показника.

Для перевірки гіпотези Н0 використовують F-критерій Фішера, з (m–1) та (n–m–1) ступенями вільності:

де m – кількість незалежних факторів, які включено до моделі разом із фіктивним, n – загальна кількість спостережень.

Можна показати що має місце альтернативне представлення окресленого показника у матричній формі:

гіпотеза Н0 відхиляється і приймається альтернативна, що свідчить про адекватність побудованої моделі, іншими словами, підтверджується наявність істотного зв’язку між залежною та незалежними змінними побудованої економетричної моделі. У протилежному випадку вона приймається і модель вважається неадекватною. ♦

Приклад 16.7. Перевірити гіпотезу про значущість економетричної моделі (прикл.16.1)

♦ Розв’язування.

Висуваємо нульову гіпотезу H0: a1 = a2 = 0.

Для перевірки гіпотези про значущість економетричної моделі використаємо F-критерій Фішера.

Обчислимо розрахункове значення критерію за формулою

(16.72).

Fрозр = (Y ′Y - A′X ′Y )(m −1).

500