Navch._posibnuk_Ivaschyk

Результат:

Гипотеза 1:<Регрессионная модель адекватна эксперементальным данным>

х1=11, Y=84260000 x1=15, Y=85330000

Враховуючи одержані статистичні параметри, наша модель

буде:

Приклад 17.2. Дослідити та побудувати тренд на основі даних за 1995-2006 р.р. прямих іноземних інвестицій в економіку України (табл. 17.2), якщо основна тенденція динаміки описується прямою лінією або поліноміальною функцією. Розрахувати прогнозні показники на 2008-2010 роки.

Таблиця 17.2

Для побудови часового тренду у лінійному вигляді використаємо можливості програми Excel. Побудована лінійна

економетрична модель має вигляд:

y = −3390,43 +1502,505t ( R = 0,865; R2 = 0,7475).

Лінійна модель відображає стабільну тенденцію до збільшення іноземних інвестицій в економіку України. Тому можна стверджувати, що в середньому за рік іноземні інвестиції збільшуються на 1502,505 млн. дол.

541

Для порівняння побудуємо поліноміальний тренд із степенем полінома, рівній 2, тобто параболічну функцію. Одержуємо:

y = 3874,9 −1611,2t + 239,52t2 , ( R = 0,9616; R2 = 0,9248).

Порівнюючи значення показників детермінації та множинної кореляції для лінійного та поліноміального трендів, стверджуємо, що параболічна функція є більш адекватною для відображення статистичної інформації про іноземні інвестиції.

Розрахуємо прогнозні показники іноземних інвестицій, використовуючи параболічний тренд: 2008 р. – 28264,029 (млн. дол.); 2009 – 33598,9 (млн. дол.); 2010 – 39412,82 (млн. дол.).

17.1.2. Кореляційний аналіз

Кореляційний аналіз є інструментом домінуючих кореляцій і їх лагів (затримок, відставань), періодичних повторювань в одному процесі Х (автокореляція) або між двома процесами X, Y (кроскореляція). Високі рівні кореляції можуть бути індикатором причинно-наслідкових зв’язків або взаємодій у середині одного процесу чи між двома процесами. Величина лага вказує на часову затримку у передачі взаємодії.

Як відомо, в класичному означенні кореляційної функції на k-му кроці обчислюється коваріація між відрізком i =1, n − k першого ряду Х та відрізком i = k, n другого ряду Y, де використовуються середні

значення повних рядів (а власне не цих відрізків), причому ділення проводиться не на один елемент відрізка (n–j), а на один елемент повного ряду (n). Далі ця «коваріація» нормується стандартним відхиленням повного ряду. В результаті отримуємо деяку величину, для котрої важко провести практичну інтерпретацію.

Тому можливості класичного кореляційного аналізу обмежені дуже вузьким колом стаціонарних і ергодичних часових рядів, якими переважно не є випадки, що нас цікавлять. Дійсно, на послідовних кроках обчислень беруть участь усе спадна за розміром початкова ділянка першого ряду і кінцевий відрізок другого ряду, що скорочується. А це вже зовсім інші ряди із іншими статистичними властивостями. Тому знайдені значення кореляційної функції у випадку нестаціонарних часових рядів принципово не можливо порівняти та проінтегрувати. Аналітиків у плані кореляційного аналізу хвилює дослідження затримок у передачі впливу від одного

542

процесу до іншого або вплив початкового збурення на наступний розвиток того самого процесу.

Розглянемо модифікацію класичного методу з допомогою інтервальної та номінальної кореляцій.

Інтервальна кореляційна функція є послідовністю коефіцієнтів кореляції Пірсона, обрахованих між фіксованими відрізками другого ряду, вибраними з послідовними зсувами від початку ряду. Таким чином, до означення додається два нових параметри: величина зсунутого фрагмента ряду, його початкове положення, а також використовується класичне означення коефіцієнта кореляції. Завдяки цьому, обраховані значення стають порівняльними між собою та доступними для інтерполяції.

Номінальна кореляція є мірою корельованості номінальних часових рядів (значення котрих є не числа, а символи). Якщо при обчисленні звичайної кореляції для кожної пари значень двох вибраних для аналізу змінних обраховується добуток різниць кожного значення і середнього значення цієї змінної, то для номінальної кореляції береться значення одиниця при співпадінні пари значень (символів) і значення нуль при їх неспівпадінні.

Після запуску процедури в типовому бланку (рис. 17.1.2) треба вибрати одну або дві змінних з електронної таблиці (ЕТ) для автокореляційного чи кроскореляційного аналізу .

Рис. 17.1.2. Екранний бланк вибору змінних і встановлення параметрів кореляційного аналізу

У бланку необхідно задати значення таких трьох параметрів: hрозмірність часового кроку аналізованого ряду для

застосування результатів до реальної часової шкали;

hдовжину nk зсуваючого фрагмента першого ряду, виражену через число включених у нього вимірювань (якщо nk<4 або nk>n, то приймається nk/2, де n – довжина ряду);

hзсув фактора n0, тобто його положення відносно початку ряду;

543

hознака обчислення номінальної кореляції rxyN ( j) працює в

режимі інтервальної кореляції.

Якщо n0=0 і nk=0, то обраховується класична кореляційна функція rxy ( j), у протилежному – інтервальна кореляційна функція rxy1 ( j).

Якщо для аналізу вибрана одна змінна, то обчислюється значення автокореляційної функції rxy ( j) для послідовних лагів j.

Автокореляційна функція дозволяє визначити якою мірою динаміка зміни заданого фрагмента відтворюється у зсунутих в часі його відрізках.

Якщо для аналізу вибрані дві змінні, то обраховується значення кроскореляційної функції rxy ( j) для послідовних лагів (зсувів) j

другої з вибраних змінних відносно першої.

Якщо часові ряди мають різну довжину, то отримуємо попереджувальну діагностику і в якості n береться довжина більш корельованого короткого ряду.

Кроскореляційна функція дає можливість визначити, в якою мірою степінь динаміки зміни заданого фрагмента першого ряду відтворюються у зсунутих в часі фрагментах другого ряду.

Видача результатів містить критичне значення r0 для нульової гіпотези, «r(j)=0» для рівня значущості 0,05, яка дозволяє не брати до уваги незначні коефіцієнти кореляції. Далі отримуємо значення кореляційної функції із заданням лагів.

На завершення процедури маємо графік авточи кроскореляційної функції.

Отримані результати можна перенести в ЕТ для подальшого аналізу та побудови комплексних графіків з чисельною видачею результатів через буфер обміну або безпосередньо з графіків даних натисканням інструментальної кнопки «Сохр. Граф.»

17.1.3. Спектральний аналіз

Одним із загальноприйнятих способів аналізу структури стаціонарних часових рядів є використання дискретного перетворення Фур’є для оцінки спектральної густини або спектра ряду. Цей метод може використовуватися:

hдля отримання описової статистики одного часового ряду або описової статистики залежностей між двома часовими рядами;

hдля виявлення періодичних і квазіперіодичних властивостей часових рядів;

544

hдля перевірки адекватності моделей, побудованих іншими методами;

hдля компактного представлення даних; hдля інтерполяції динаміки часових рядів.

У версії пакету STADIA можливості спектрального (частотного) аналізу розширені за рахунок включення згладжувальних вікон і методів усереднення, але вони обмежені найбільш вживаними частотними характеристиками: амплітудна та фазова, когерентність, передаточні функції.

Після запуску процедури в типовому бланку (рис. 17.1.3) треба вибрати одну чи дві змінних з ЕТ для спектрального або кросспектрального аналізу .

0Спектральный анализ

Рис. 17.1.3. Екранний бланк вибору змінних і параметрів спектрального аналізу

У цьому бланку необхідно задати значення параметрів:

hрозмірність часового кроку аналізованого ряду для відповідності результатів реальним часовим та частотним шкалам;

hдовжину k аналізованого відрізку часового ряду, виражену числом включених у нього вимірювань;

hзсув окресленого відрізка k0 відносно попереднього;

545

hтип часового вікна згладжування для усунення в спектрі ефекту витрати потужності;

hтип усереднення частотних характеристик, обчислених на послідовних відрізках часового ряду. Після завершення обчислень на екран виводяться значення амплітудно-частотної характеристики Px (i). У випадку крос-спектра виводяться також значення

передаточної функції H xy (i) і когерентності Gxy (i).

Далі з’являється меню вибору графіка (рис. 17.1.3.2), з якого можна вибрати графіки амплітудного спектра та фази, а у випадку крос-спектрального аналізу – також і графік когерентності та передаточної функції (на горизонтальній осі – частоти). Запити видачі графіка повторюються до натискання кнопки «Отменить».

График

Построить график

1=АЧХ

2=ФЧХ

3=Корегентность

4= Перед. Функция 1

5= Перед. Функция 1

r <Esc>=Отменить

Рис. 17.1.3.2. Екранне меню вибору спектрального графіка

Отримані результати можна перенести в ЕТ для наступного аналізу та побудови комплексних графіків з числовою видачею результатів через буфер обміну або прямо з графіків даних натисканням кнопки «Сохр. Граф».

Спектральний аналіз може бути проведений повторно з перетворенням вхідного часового ряду. Так, якщо в процесі виявлені сильні сезонні коливання і потрібно провести більш детальне дослідження несезонних закономірностей, то перед повторним аналізом слід усунути сезонні зміни трансформацією часового ряду шляхом фільтрації, сезонного центрування, нормування та диференціювання.

Комплексна функція дискретного перетворення Фур’є DFx (DFxy) дає можливість представити неперервний спектр fx процесу (або кросспектр двох процесів fxy), представленого часовим рядом xt, у вигляді кінцевого набору синусоїдальних ai та косинусоїдальних bi гармоній у діапазоні частот і від 0 до n/2, де n – довжина часового ряду.

546

Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) або спектральна густина є залежністю амплітуди спектра (корінь квадратний з модуля комплексної спектральної гармонії) розкладу Фур’є від частоти. АЧХ наглядно демонструє, на яких частотах вхідного сигналу зосереджена основна енергія і де знаходиться область резонансу та антирезонансу аналізованої системи.

Поряд з АЧХ, інколи будують графік потужності (або квадрату амплітуди) від частоти, який називається періодограмою. На такому графіку більш виділені основні піки, а малі коливання більш приглушені.

АЧХ крос-спектра або крос-спектральна густина є залежністю амплітуди взаємного спектра двох процесів від частоти. Така характеристика показує, на яких частотах спостерігається синхронна і відповідна за величиною зміна потужності обох аналізованих часових рядів або ж де знаходяться області резонансу та антирезонансу.

Фаза – кутовий зсув між дійсною і уявною компонентами розкладу Фур’є (синусоїдальної та косинусоїдальної складових) є неперервною періодичною функцією в діапазоні значень (-1800; 1800). Тому при переході меж вказаного діапазону значень на графіку фази можуть спостерігатися хибні піки.

Графік фазочастотної характеристики дозволяє оцінити синхронність або асинхронність коливань потужності вхідного часового ряду на різних частотах.

Фазочастотна характеристика крос-спектра представляє кутовий зсув взаємної потужності двох процесів на заданій частоті або степінь випередження (запізнення) у часі одного процесу від іншого.

Когерентність відображає лінійний зв’язок двох процесів, диференційованих за частотами аналогічно тому, як звичайний коефіцієнт кореляції відображає ступінь лінійного взаємозв’язку двох процесів у часовій області. Значення когерентності лежать в інтервалі (0; 1). Для обчислення когерентності необхідно задати число усереднень, у протилежному – когерентність за визначенням тотожно рівна одиниці.

Функція когерентності обчислюється як відношення усередненої за сукупністю амплітуди крос-спектра до середніх за сукупністю амплітуд складових процесів.

Зменшення значення когерентності може бути викликане такими причинами:

547

1)присутністю некорельованих шумів у сигналах, які визначають нестабільність напрямку вектора крос-спектра у часі;

2)наявністю нелінійного зв’язку між процесами;

3)втратою потужності, визначеною недостатньою роздільністю стосовно частоти, тобто частотою дискредитації сигналу в часі реєстрації;

4)наявністю часової затримки при передачі взаємодії між двома процесами, співмірних з інтервалом спостережень.

Екстремальне нульове значення когерентності може свідчити про перевищення обмежень розрядної сітки проміжних обрахунків, через що амплітуда крос-спектра або амплітуда спектра одного з процесів набуває нульове значення.

Функція когерентності використовується для оцінки значущості інших крос-спектральних характеристик і для визначення міри впливу шуму або нелінійності цих функцій. Малі значення когерентності можуть вказувати на незначущість на окресленій частоті інших крос-спектральних характеристик або бути ознакою необхідності збільшення числа цих усереднень для ліквідації впливу шуму.

Передаточна функція Н1 (інколи називають частотною характеристикою) відображає відношення величин на вході до величин на виході різних систем і характеризує стабільні, лінійні та інваріантні в часі фізичні системи. Цю функцію обчислюють як відношення амплітуди спектра першого процесу до амплітуди спектра другого процесу і цим самим представляють коефіцієнт підсилення або коефіцієнт передачі амплітуди за частотою.

Передаточна функція Н2 обчислюється як відношення амплітуди спектра другого процесу до амплітуди спектра першого процесу і є обернений коефіцієнт підсилення.

Методи корекції спектра. Розглянемо допоміжні методики аналізу сигналів та інших часових рядів. Важливими попередніми характеристиками аналізу є дозвіл за частотою та ширина полоси спектра.

Параметр розрішення за частотою визначає, наскільки близько розміщені спектральні складові можуть бути виділеними з часового ряду. Оскільки частотний крок спектральних характеристик рівний 1/T, де Т – часова тривалість, то дозвіл по частоті може бути збільшеним за рахунок тривалості часового ряду. З другого боку, верхня межа полоси аналізованого спектра визначається частотою

548

вимірювання значень часового ряду, а нижня межа рівна дозволу за частотою.

Засобами покращення спектральних характеристик часто використовуються коригуючі часові або частотні вікна, доповнені нулями, а також різні види усереднення.

У формі часового ряду ми маємо справу з деяким сегментом даних, взятих із тривалого чи потенційно нескінченного процесу. Математично таке взяття є множенням процесу на прямокутне вікно заданої часової ширини та одиничної амплітуди, в результаті чого виникають розриви амплітуди процесу на кінцях сегмента.

При перетворенні такого сегмента в частотну область виникають невідомі коливання виду sinx(x) (явище Гіббса), що на

прикладі синусоїдального виду часового ряду приводить до розширення гострих спектральних піків та появою бічних пелюсток зменшеної амплітуди. Цей ефект називається втратою потужності.

Накладання бічних пелюсток від сусідніх спектральних піків може привести до їх додаткового зміщення стосовно частоти, до зміни амплітуди основних піків, а також до повного зникнення малоамплітудних спектральних складових. Радикальним засобом послаблення ефекту накладання бічних пелюсток є збільшення частоти вимірювання значень часового ряду.

Коригуючі вікна. Використання вікон, відмінних від прямокутних, які згладжують розриви процесу на кінцях сегмента, дозволяє понизити рівень бічних пелюсток. Вдається це здійснити за рахунок розширення головної пелюстки, що приводить до певного погіршення розрішення за частотою та появи додаткового піку на низькій частоті, що визначається з двоподібним видом використаного вікна.

Основними характеристиками спектрального вікна переважно використовують таких чотири параметри:

hширина полоси головної пелюстки на рівні половинної потужності (рівень 3Дб);

hеквівалентна ширина полоси, тобто ширина прямокутника рівного основній пелюстці за площею і максимальній амплітуді;

hмаксимальна амплітуда бічних пелюсток (Дб) за відношенням до головної пелюстки.

549

Наведемо основні характеристики деяких поширених вікон.

Види вікон. Прямокутне вікно має найбільш вузьку головну пелюстку. Вікно Ханна або вікно косинус-квадрат є найбільш поширеним і простим для реалізації. Сімейство інших вікон, похідних від вікна Ханна, використовують декілька косинусоїдальних складових, ваги яких вибрані за критеріями мінімального рівня бічних пелюсток, максимальної швидкості і т.д. Коефіцієнти популярного вікна Хеммінга вибрані так, щоб практично повністю усунути максимальну бічну пелюстку. Гауссове вікно має найменшу величину добутку тривалості на ширину полоси. Для вікна Чебишева всі бічні пелюстки мають однаковий рівень, а основна пелюстка дуже вузька.

Кожне вікно має еквівалентні означення як у часі, так і в частотній області. Тому, власне, все одно, де проводиться коригування спектра: в самому сигналі до частотного аналізу чи в результативній спектральній характеристиці. Для простоти реалізації переважно здійснюють коригування в часовій області.

У випадку крос-спектра для спрощення втрати потужності корисно також ліквідувати зміщення одного ряду відносно іншого, індикатором чого є знаходження максимуму кореляції не в нулі або лінійний характер зміни фази.

550