Navch._posibnuk_Ivaschyk

корінь квадратний з якого називається частинним коефіцієнтом кореляції. Він може інтерпретуватися як кореляція між j-ою незалежною змінною та залежною змінною, при вилучених з Хj і Y лінійних ефектів інших незалежних змінних.

Точність оцінок регресійних коефіцієнтів може також служити показником відносної важливості незалежних змінних. Коефіцієнти з великою стандартною помилкою можуть суттєво змінюватися від вибірки до вибірки. Тому небезпечно вибирати змінні для передбачення, базуючись тільки на їх значущості індивідуальних значень. Окрім цього, це може викликати обчислювальні проблеми при розрахунку моделі. Для вирішення цих проблем обраховують толерантність Т як пропорцію мінливості регресійних коефіцієнтів не пояснену іншими змінними:

де Rj – коефіцієнт множинної кореляції j-ої незалежної змінної з іншими незалежними змінними. Толерантність оцінює степінь некорельованості незалежних змінних і зв’язана оберненим зв’язком з помилкою В. Мале значення Тj означає високу степінь корельованості між незалежними змінними та більшу стандартну помилку в оціночному регресійному коефіцієнті.

F-статистика для нульової гіпотези aj=0 визначається таким чином:

з 1, n–m–1 ступенями вільності; Sj – стандартна помилка обчислення aj

Приклад 16.14. Файл SWR містить 13 значень для експериментальної функції Y від чотирьох незалежних змінних: X1,

X2, X3, X4:

521

де Y – обсяг випуску продукції підприємствами району, млн. грн.; x1 - розмір отриманих інвестицій, млн. грн.; x2 – затрати праці, млн. людгод.; x3 – ритмічність роботи підприємства, %; x4 – вартість основних виробничих фондів, млн. грн.

Необхідно побудувати лінійну регресійну модель з мінімальним та достатнім для опису цих експериментальних даних набором змінних з допомогою методу виключення змінних.

Результат:

ПОШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ. Файл: swr. std

522

523

На останньому кроці процедури формується модель, що містить три змінних з номерами 1, 2 та 4 з чотирьох, які є у початкових даних. Модель адекватна експериментальним даним, і залишки розподілені достатньо рівномірно. Для порівняння проведемо побудову моделі методом виключення змінних.

Результат:

ПОШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ. Файл: swr. std

524

У результаті аналізу з початкового набору виводиться змінна з номером 3 як незначна для опису експериментальної залежності. Таким чином, у даному випадку, як і у багатьох інших, обидва методи селекції змінних дають однакові результати.

16.8. Нелінійна модель

У більшості випадків економічні показники фінансовогосподарської діяльності виробничих і інших структурних підрозділів зв’язані між собою нелінійними співвідношеннями. Тому для опису таких залежностей необхідно використовувати множинну нелінійну регресію, яка найбільш адекватно відображає особливість причиннонаслідкових зв’зків в економіці.

Процедура побудови рівняння множинної регресії аналогічна процедурі визначення простої нелінійної регресії. Розглянемо приклад квазілінійної регресії, обмежившись двома пояснювальними змінними:

Припустимо, що проведений ретроспективний аналіз деякого економічного процесу дає можливість представити згадані вище явища у вигляді:

F1 (x1 )= b1x1 + c1x12 + d1x13 ; F2 (x2 )= b2 x2 + c2 x22 + d2 x23 .

525

Тоді залежність (16.104) матиме вигляд:

ˆy = a +b1x1 + c1x3 + d1x4 +b2 x2 + c2 x5 + d2 x6 .

Серед функцій множинної нелінійної регресії другого класу, які допускають лінеаризацію, представляють великий економічний інтерес виробничі функції.

Першою класичною виробничою функцією була степенева функція Кобба-Дугласа:

де ˆy – обсяг випуску продукції; К – затрати капіталу; L – затрати

праці; a – коефіцієнт пропорційності; α – параметр функції або коефіцієнт еластичності затрат праці.

Аналізуючи (16.106), можна зробити висновок, що сума параметрів або степінь однорідності (α +1–α =1) класичної функції Кобба-Дугласа дорівнює одиниці. Такий висновок означає, що при збільшенні виробничих ресурсів на одиницю, обсяг випуску продукції теж збільшиться на одиницю. Це свідчить про сталу ефективність ресурсів. Оскільки припущення відносно лінійної однорідності в прикладних дослідженнях виконується рідко, тому була запропонована степенева функція для загального випадку:

де yˆ – обсяг випуску продукції (національний дохід та ін.); х1, х2,…, хm – фактори впливу на результативний показник; a1, a2,…, am – коефіцієнти еластичності.

Розглянемо економічний зміст основних характеристик

де yˆ – вартість валової продукції, тис. грн.; x1 – вартість основних виробничих фондів, тис. грн.; x2 – витрати праці, тис. людино-годин.

Для приведення даної функції до лінійного виду треба прологарифмувати праву та ліву частини при будь-якій основі, наприклад, при основі е. Отримаємо:

ln yˆ = ln a0 + a1 ln x1 + a2 ln x2 .

526

прийдемо до лінійної форми зв’язку:

Середню продуктивність праці в цьому випадку обрахуємо за формулою:

Величина С2 показує середню кількість продукції, що припадає на одиницю відпрацьованого часу. Оскільки, як правило, 0<a2<1, то показник у правій частині становитиме а2–1<0. Це свідчить про те, що із збільшенням витрат праці середня продуктивність її зменшується. Якщо коефіцієнт а2 буде від’ємним, то це означає, що із збільшенням трудових ресурсів обсяг продукції абсолютно знижується. Крім цього, якщо а2 ≥1, то це означає, що збільшення тільки трудових ресурсів, наприклад, у 2 рази, при незмінній кількості виробничих фондів забезпечить приріст продукції в 2 або більше разів.

Поряд із середнім значенням показників важливе значення мають граничні величини. Так, гранична продуктивність праці показує, скільки додаткових одиниць продукції дає одиниця витраченої праці.

Отже,

середня, залежать від загальної величини трудових витрат та обсягу використаних виробничих фондів. Із збільшенням витрат при

Оскільки 0<а2<1, то у виробничій функції типу Кобба-Дугласа гранична продуктивність завжди нижча від середньої продуктивності. Середня та гранична продуктивність вимірюється в таких же одиницях, що й обсяг виробництва.

527

Здобутий показник показує, на скільки відсотків збільшується випуск продукції при збільшенні витрат праці на 1 %, тобто він збільшиться на а2 %.

Аналогічні дослідження можна провести відносно використання основних виробничих фондів.

Середня фондовіддача знаходиться за формулою:

Формула (16.114) показує, що середня фондовіддача завжди збільшується із збільшенням ресурсів (при незмінних фондах) і зменшується із збільшенням самих фондів (при незмінних трудових ресурсах).

Показник граничної фондовіддачі розраховується за формулою:

Еластичність випуску продукції за обсягом виробничих фондів знаходиться так:

Виробничі функції можна використовувати для визначення потреби в одному із ресурсів при заданих обсягах виробництва і величині іншого ресурсу. Так, якщо задано обсяги продукції та виробничі фонди, то потребу в трудових ресурсах знайдемо з формули:

Виробнича функція дає можливість дослідити питання співвідношення, заміни та взаємодії ресурсів. Взаємодія трудових ресурсів і виробничих фондів визначається за допомогою показника,

528

який має назву фондооснащеність. У випадку функції Кобба-Дугласа фондооснащеність записується:

На основі виробничої функції можна розрахувати граничну норму заміни ресурсів. Так, гранична норма заміни витрат праці виробничими фондами у цьому випадку становить:

Знак «–» означає, що при сталому обсязі виробництва збільшенню одного ресурсу відповідає зменшення іншого та навпаки.

Гранична норма заміщення ресурсів для функції Кобба-Дугласа залежить не тільки від параметрів функції, але й від співвідношення між обсягами ресурсів. Чим вища фондооснащеність праці, тим вища й норма заміни витрат живої праці виробничими фондами. Наприклад, якщо фондооснащеність праці збільшиться в 2 рази, то в 2 рази збільшиться і гранична норма заміни. Це твердження покладено в основу показника еластичності заміщення ресурсів, який визначається як співвідношення відносних приростів фондооснащеності праці та граничної норми заміщення ресурсів:

Отже, еластичність заміни ресурсів у випадку функції КоббаДугласа постійна й дорівнює одиниці. Це свідчить про те, що зміні фондооснащеності на 1 % відповідає зміна граничної норми заміни також на 1 %.

Важливою характеристикою виробничої функції типу КоббаДугласа є величина А=а1+а2, яка показує ефект одночасного пропорційного збільшення обидвох видів ресурсів. Припустимо, що обсяг кожного виду ресурсів збільшується в k разів. Тоді новий обсяг продукції:

Розглянемо можливі варіанти для величини А. Припустимо, що А=1, тоді при збільшенні ресурсів у k разів обсяг виробництва зростає

529

у k разів. Якщо А>1, то збільшення ресурсів у k разів призведе до збільшення обсягу виробництва більше, ніж у k разів. Можливий випадок А<1, тоді збільшення ресурсів у k разів призводить до збільшення виробництва менше, ніж у k разів.

Побудовані виробничі функції використовуються в двох аспектах як самостійні економіко-математичні моделі для аналізу існуючих зв’язків, прийняття рішень, прогнозування, а також як складові частини більш складних моделей, насамперед, для оптимального планування та управління виробництвом і моделей економічного росту.

Припустимо, що нами отримана залежність такого вигляду:

ˆy = 3,297x10,418 x20,953 ,

деˆy – обсяг випуску продукції підприємством, млн. грн.; х1 – вартість

основних виробничих фондів, млн. грн.; х2 – чисельність промислововиробничого персоналу, тис. людино-год.

Ступінь ефективності роботи підприємства в нашому випадку складе:

e = a1 + a2 =1,371.

У цьому випадку(e >1) із збільшенням вартості основних

виробничих фондів і чисельності промислово-виробничого персоналу на підприємстві обсяг випуску продукції зростає у декілька разів більше, ніж згадані фактори. Дійсно, якщо виробничі фонди та

чисельність робітників збільшити в k разів, то обсяг випуску продукції збільшиться в k1,371 разів.

Параметр а1=0,418 показує, що при збільшенні вартості основних виробничих фондів підприємства на 1 % і закріпленні на середньому рівні впливу другого фактору забезпечується приріст випуску продукції на 0,418 %. Аналогічний аналіз можна провести відносно а2 .

Враховуючи наявність засобів обчислювальної техніки та програмних продуктів, відкидаються трудомісткі розрахункові проблеми, які були перешкодою для створення нелінійних багатофакторних моделей.

Так, процедура «нелинейная регрессия» системи STADIA [24. розд.7.6] дає можливість будувати довільну регресійну модель, яка задається деякою алгебраїчною формулою і може бути нелінійною як за змінними, так і за параметрами. Для розрахунку моделей використовується алгоритм мінімізації найшвидшого спуску.

530