Navch._posibnuk_Ivaschyk

(y, тис. грн.) від сукупного річного доходу (x, тис. грн.) та обсягу споживання попереднього року ( yt −1, тис. грн.):

yt = 2 + 0,75xt + 0,15yt −1 .

У цій моделі короткотерміновий мультиплікатор рівний 0,75. Він вказує на граничну схильність до споживання в короткотерміновому періоді. Отже, збільшення сукупного доходу на одну особу на 1 тис. грн. призводить до росту обсягу споживання в цьому ж році в середньому на 750 грн. Довготермінову граничну схильність до споживання в моделі можна визначити з допомогою формули (17.45):

В довготерміновій перспективі зростання сукупного доходу на одну людину на 1 тис. грн. призведе до збільшення обсягу споживання в середньому на 882 грн. Проміжні показники граничної схильності до споживання можна визначити, розрахувавши необхідні суми за відповідні періоди часу. Наприклад, для моменту часу t+1 маємо:

0,75 + 0,75 0,15 = 0,862 .

Це значить, що збільшення сукупного доходу на одну людину в поточному році на 1 тис. грн. призводить до збільшення обсягу споживання в середньому на 862 грн. в найближчому періоді.

Описані перетворення Койка, модель адаптивних очікувань і модель неповного корегування, можна звести до моделі авторегресії виду (17.4). Проте при побудові моделей авторегресії виникають серйозні проблеми.

Перша проблема пов’язана з вибором методу оцінки параметрів рівняння авторегресії. Присутність лагових значень результативної ознаки в правій частині рівняння призводить до порушення передумови МНК про поділ змінних на результативний (стохастичний) показник і фактори-аргументи, які є не стохастичними.

Друга проблема в тому, що оскільки в моделі авторегресії насправді є залежність між поточними значеннями результату yt i поточними значеннями залишків ut, то очевидним є те, що між часовими рядами yt-1 і ut-1 також існує взаємозв’язок. Тим самим порушується передумова МНК про відсутність зв’язку між факторною ознакою та залишками в рівнянні регресії. В результаті

581

застосування звичайного МНК для оцінки параметрів рівняння авторегресії призводить до отримання зміщеної оцінки параметра при

змінній yt-1.

Одним із можливих методів розрахунку параметрів рівняння авторегресії є метод інструментальних змінних. Суть цього методу полягає в заміні змінної правої частини моделі, для якої порушуються передумови МНК, на нову змінну, включення котрої у модель не призведе до цього порушення. Стосовно моделей авторегресії слід позбутися з правої частини моделі yt-1. Шукана нова змінна, що буде введена в модель на місце yt-1, повинна мати дві властивості. Поперше, вона має тісно корелюватися з yt-1, по-друге, вона повинна бути корельованою з ut.

Існує декілька способів знаходження такої інструментальної змінної. З урахуванням того, що yt моделі (17.4) залежить не тільки від yt-1, а й від хt, можна передбачити, що має місце залежність yt-1 від

Знайдена з допомогою рівняння (17.48), параметри якого можна розрахувати звичайним МНК, оцінка yˆt−1 може служити

інструментальною змінною для yt. Ця змінна тісно корелює з yt-1, і, як видно з (17.48), є лінійною комбінацією змінної хt-1, для якої не порушена передумова МНК про відсутність залежності між факторною ознакою та залишками в моделі авторегресії. Значить, змінна yˆt−1 також не буде корелювати з помилкою ut.

Таким чином, оцінки параметрів рівняння (17.4) можна знайти з

Для цього попередньо з рівняння (17.48) необхідно визначити розрахункові значення yt-1.

Далі розглянемо можливу модифікацію окресленого методу. Якщо в модель (17.5) замість yt-1 підставити його вираз з (17.46), то

582

Рівняння (17.51) є моделлю з розподіленим лагом. Для неї не порушуються передумови застосування звичайного МНК, які зумовлюють неспроможність і зміщеність оцінок параметрів моделі. Обрахувавши параметри (17.46) і (17.51), можна визначити параметри вихідної моделі (17.4). Модель (17.51) показує ще одну важливу властивість методу інструментальних змінних для оцінки параметрів моделей авторегресії, а саме: з допомогою цього методу можна замінити модель авторегресії на модель із розподіленим лагом.

Практична реалізація методу інструментальних змінних ускладнюється появою мультиколінеарності факторів моделі (17.49). Функціональний зв'язок між змінними yt-1 і хt-1 призводить до появи високого кореляційного зв’язку між yt-1 і хt. Інколи цю проблему можна вирішити з допомогою включення в (17.49) та відповідно в (17.4) фактора часу як незалежної змінної.

При оцінці достовірності моделей автокореляції необхідно враховувати специфіку тестування цих моделей на автокореляцію залишків. Для перевірки гіпотез про автокореляцію залишків у моделях авторегресії не можна використовувати критерій ДарбінаУотсона. Це пояснюється тим, що застосування цього критерію припускає строге дотримання передумов про поділ змінних моделі на результативну та факторну (точніше, про нестохастичну природу факторних ознак рівняння регресії). Наявність у правій частині рівняння регресії лагових значень результату свідчить про недотримання передумови про поділ змінних. При цьому фактичне значення критерію Дарбіна-Уотсона рівне двом. Тобто воно однакове як при наявності, так і при відсутності автокореляції залишків.

Нехай у рівнянні (17.5) має місце автокореляція залишків, тобто:

взаємозв’язані. Таким чином, у співвідношенні (17.53) частина

Уотсона буде переважно характеризувати випадкові залишки ut, а не залишки εt у моделі (17.4).

583

Для перевірки гіпотези про автокореляцію залишків у моделях авторегресії Дарбін запропонував використовувати інший критерій, який називають критерієм h Дарбіна. Розрахунок цього критерію здійснюється так:

де d – фактичне значення критерію Дарбіна-Уотсона для моделі авторегресії; n – число спостережень у моделі; v – квадрат стандартної похибки при лаговій результативній змінній.

Розподіл цієї величини наближено можна апроксимувати стандартизованим нормальним розподілом. Для перевірки гіпотези про наявність автокореляції залишків можна або порівняти отримані фактичні значення критерію h з табличними (використовуючи таблиці стандартизованого нормального розподілу), або діяти у відповідно до таких правил прийняття рішення.

1.Якщо h>1,96, то нульова гіпотеза про відсутність позитивної автокореляції залишків відхиляється.

2.Якщо h<–1,96, то нульова гіпотеза про відсутність позитивної автокореляції залишків відхиляється.

3.Якщо –1,96<h<1,96, то немає підстав відхиляти нульову гіпотезу про відсутність позитивної автокореляції залишків.

Побудова моделей авторегресії та проінтегрованого ковзного середнього (ARIMA) вважається актуальною при описі та прогнозуванні поведінки як стаціонарних, так і нестаціонарних часових процесів, що виявляють однорідні коливання навколо змінного середнього значення.

З іншої сторони, побудова подібних моделей реалізується складними алгоритмами, що за обсягом перевищують усі разом взяті процедури багатомірної статистики. Для подібного типу задач рекомендується використовувати стандартні програмні продукти з STADIA, які дають можливість отримати й більш точні прогнози.

Після запуску процедури в типовому бланку потрібно вибрати змінну з ЕТ, яка представляє аналізований часовий ряд.

Потім за підтвердженням можна переглянути графік частотної автокореляційної функції та графік помилки прогнозу залежно від кількості членів авторегресійної моделі, який дозволяє попередньо оцінити необхідне число параметрів моделі AR за положенням мінімуму помилки прогнозу.

Далі з’являється екранний бланк (рис. 17.5.1) параметрів моделі.

584

Рис. 17.5.1. Бланк вводу параметрів ARIMA-моделі

Після заповнення всіх позицій натискаємо Enter або електронну кнопку «Утвердить».

Далі починається процес обчислень, який містить попереднє та кінцеве оцінювання параметрів моделі.

Попереднє оцінювання полягає в підборі числа параметрів моделі та наближеної оцінки їх значень. На кожному кроці попереднього оцінювання на екран видається інформація, що містить параметри поточної моделі: pі, qі,, dі, а також значення статистики

χ2 , рівень значущості нульової гіпотези про адекватність моделі

часовому ряду й підказку про прийняття чи неприйняття нульової гіпотези.

На кожному наступному кроці збільшується на одиницю кількість авторегресійних членів pі або число диференціювань часового ряду dі. При цьому для попередніх параметрів встановлюються їх початкові значення (p0 ,q0 або d0), що забезпечує перебір усіх комбінацій числа параметрів у діапазонах: pi ( p0 ; p0 + 2); qi (q0 ; q0 + 2); di (d0 ; d0 + 2).

Процес попереднього оцінювання завершується після прийняття нульової гіпотези або перебору допустимого числа параметрів.

Ітераційний процес обчислення кінцевих оцінок параметрів моделі продовжується до досягнення необхідної точності оцінки або після завершення 25 ітераційних кроків.

На завершення ітераційного процесу на екран виводяться оцінені значення параметрів автокореляційної моделі та моделі ковзного середнього.

Потім виводиться таблиця, в якій для кожного кроку прогнозування вказані номер кроку, середнє значення прогнозу,

585

стандартна помилка прогнозу, довірчий інтервал прогнозу для рівня значущості 0,05, а також три варіанти прогнозу.

Після цього за підтвердженням можуть бути видані такі графіки:

hграфік часового ряду з середнім значенням і інтервалом стандартної помилки прогнозу;

hграфік часового ряду з трьома варіантами прогнозу.

Далі проводиться аналіз залишків із видачею статистики Дарбіна-Уотсона і рівня значущості нульової гіпотези відсутності корельованості залишків. Тут за підтвердженням можна проглянути графік залишків.

Отримані результати можна перенести в ЕТ для наступного аналізу та побудови комплексних графіків з числовою видачею результатів через буфер обміну або безпосередньо з графіків даних натисканням кнопки «Сохр.Граф».

Модель ARIMA є комбінацією двох моделей: авторегресії (AR) та ковзного середнього (MA).

У модель авторегресії (AR) поточне значення стаціонарного процесу xt , t =1,n із нульовим середнім значенням виражається як кінцева лінійна комбінація попередніх значень процесу xt −i та його

шуму W(t), тобто послідовності некорельованих і однаково розподілених випадкових величин з нульовим середнім і кінцевою дисперсією:

Іншими словами, в моделі AR будь-яке наступне значення xt містить інформацію, яку можна взяти з минулого, тобто з попередніх значень часового ряду, та інформацію, одержану з теперішнього (білий шум). Чим менша дисперсія білого шуму, тим менше нової інформації дає чергове спостереження.

Добрі результати дає використання моделей авторегресії для процесів, у яких спостерігається одна чи декілька домінуючих кореляцій або гармонічних складових.

Модель ковзного середнього (МА) є стаціонарним процесом у вигляді лінійної комбінації послідовних значень білого шуму:

586

xt =W (t) + b1W (t −1) +... + bqW (t − q) , або xt = R(B) W (t), (17.57)

де невідомими є параметри bi , i =1,q і дисперсія білого шуму W.

Інакше кажучи, МА є моделлю корельованого шуму, спектр якого різниться від рівномірного спектра білого шуму наявністю в ньому провалів потужності в деяких частотних діапазонах. Сама модель МА може розглядатися як деякий фільтр, що працює з білим шумом, як з вхідним сигналом.

Такі моделі є корисними для самостійних описів стаціонарних процесів і як доповнення до моделей авторегресії для детальнішого опису шумових складових.

Разом з тим ітераційний алгоритм обчислення параметрів моделі МА дуже чутливий до неправильного вибору числа параметрів для конкретного числового ряду, особливо в сторону їх збільшення, що може виразитися відсутністю збіжності обчислень. Тому рекомендується на початкових етапах аналізу не вибирати модель ковзного середнього з великим числом параметрів.

Об’єднуючи два розглянутих підходи, модель авторегресіїковзного середнього (ARIMA) має вигляд:

a0 xt + a1xt−1 +... + ap xt−p =W (T ) + b1W (t −1) +... + bqW (t − q), (17.58)

де невідомими є p+q+2 параметри.

У випадку нестаціонарних процесів оператор S(B) поділяється на дві частини: стаціонарну P(B) і нестаціонарну Q(B), що приводить нас до загальної моделі авторегресії – проінтегрованого ковзного середнього (ARIMA):

Переважно в якості Q(B) вибирають одну з двох можливостей:

–Q(B) = (1− B)d , що еквівалентно d-разовій різниці значень процесу: xt − xt−1;

–Q(B) =1 − Bm або оператор сезонного диференціювання з

періодом m:xt − xt−m .

Перший із операторів безпосередньо реалізований у процедурі ARIMA шляхом задання початкового значення параметра d, а сезонне диференціювання часового ряду можна здійснити у процедурі «Згладжування та фільтрація» .

У ряді випадків доцільно використовувати модель ARIMA не до початкових даних, а до трансформованого ряду шляхом одного з перетворень Бокса-Кокса:

587

де параметр m для рядів із додатнім значенням переважно рівний нулю. Таке перетворення можна провести засобами блоку

перетворення даних Ці трансформації, як правило, використовують для стабілізації

дисперсії часового ряду або із змістовних міркувань. Наприклад, якщо інтерес представляють відносні зміни спостереженого ряду, то використовують логарифмічну трансформацію.

У ряді випадків середнє стаціонарного процесу може змінюватися в часі згідно з деякою детермінованою функцією. Тоді корисно попередньо провести усунення тренду часового ряду.

На практиці найчастіше використовуються моделі з числом параметрів p , q та d ( 0, 1 та 2).

Для вибору моделі корисно звернутися до графіків автокореляції (АКФ) та часткової кореляції (ЧАКФ) функції модельованого процесу, користуючись такими їх властивостями:

hАКФ нестаціонарного процесу характеризується поганим затуханням із зростанням лага: виконаємо декілька послідовних диференціювань часового ряду (розд.9.4 фільтр 1–В) з побудовою графіка АКФ, виберемо те значення d, яке забезпечує затухання АКФ на перших 20 лагах;

hАКФ процесу p спадає плавно, а ЧАКФ має спад (тобто набуває вигляду експоненти чи затухаючої синусоїди) після p-го лага, тому вибір числа параметрів AR-моделі може бути проведеним за критеріями найменшої помилки прогнозу або за графіком ЧАКФ;

hЧАКФ процесу порядку q спадає плавно, а АКФ має спад після q-го лага, тому вибір числа параметрів МА-моделі може бути проведеним за графіком АКФ;

hАКФ і ЧАКФ процесу порядку (p–q) має спад після (p–q)-го лага, тому вибір числа параметрів ARIMA-моделі може проводитись за співставленням графіків АКФ та ЧАКФ.

17.6. Розподілені лаги в інвестиційних процесах

Одним із найбільш важливих прикладних аспектів моделювання розподілу лагів є моделі інвестиційних процесів. Із зрозумілою певною затримкою в часі інвестиції переходять у приріст основного капіталу (у вітчизняній статистиці використовується категорія «капітальні вкладення» або «введення основних фондів»).

588

При цьому ці затримки є різними для різних елементів інвестицій. У цьому випадку модель розподілу лага є адекватним інструментом для опису взаємозв’язків між обсягами інвестицій Іt та приростом основного капіталу Кt.

При побудові моделі розподіленого лага в інвестиційних процесах будемо виходити з таких припущень:

•всі елементи інвестицій переходять у приріст основного капіталу, тобто ці показники в цілому з урахуванням зсуву в часі співпадають;

•часова структура інвестиційних процесів постійна, тобто розподіл інвестицій у часі і приростів основного капіталу у кожній групі об’єктів, будівництво котрих починається в поточний момент часу, однакові.

Останнє припущення означає, що максимальні терміни

будівництва однакові для кожної групи об’єктів, і вони становлять Т років. Нехай нам задані коефіцієнти розподілу в часі інвестиційних

вкладень (ατ) і коефіцієнти приростів основного капіталу (βτ), τ =1,T . Коефіцієнт ατ визначає частку загального обсягу інвестицій у всі об’єкти, які розпочинаються в кожний поточний момент часу, що припадає на τ-й рік будівництва, відповідно, коефіцієнт βτ – частка загального приросту капіталу в тій же групі об’єктів, що припадає на

інвестування та вводу основного капіталу схематично можна представити графіком (рис. 17.6.1).

На рис. 17.6.1 по вертикалі зображені нагромаджені частки інвестицій і приростів капіталу за роками для всіх груп інвестиційних об’єктів, починаючи з моменту часу 0. Прирости цих часток у році τ рівні відповідно ατ і βτ, а в момент часу Т нагромаджені частки стають рівними одиниці. Цей графік побудований для неперервного розподілу в часі моментів інвестування та моментів приросту основного капіталу. При цьому вважається, що будівництво чергових груп об’єктів починається в моменти 0, 1, …, τ, …, Т.

Введемо позначення: Іt – загальний обсяг інвестицій у році t; Кt – приріст капіталу в t році. Очевидно, що ці показники частково

589

Аналогічною буде і сума приростів капіталу цих об’єктів, тобто має місце:

Рис. 17.6.1. Структура інвестицій і приросту капіталу в загальній моделі розподіленого лага

Перемножимо вираз (17.63) на βj, а (17.64) на αj , отримуємо:

Виконаємо сумування двох останніх виразів по j =1,T . Маємо:

590