Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Navch._posibnuk_Ivaschyk

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

4.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 7149 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 > Следующая >>>

регіону від розміру основних виробничих фондів та затрат праці. Вхідні дані приведено в табл. 16.1

			Таблиця 16.1
Номер	Прибуток,	Основні фонди,	Затрати праці,
підприємства	млн. грн., y	млн. грн., x1	млн. днів, x2
1	1,2	2,5	4,0
2	1,5	2,8	4,2
3	1,9	3,0	3,6
4	2,2	3,6	4,6
5	2,8	3,9	4,3
6	3,1	4,2	5,1
7	3,4	4,5	5,3
8	4,5	5,0	4,8
9	4,8	5,6	5,4
10	5,4	6,0	5,8

♦Розв’язування.

Попередній аналіз вхідної інформації дає можливість зробити висновок про наявність лінійної форми зв’язку між вибраними економічними показниками:

y = a0 + a1 x1 + a2 x2 ,

де y – прибуток, млн. грн.; x1 – вартість основних виробничих фондів, млн. грн.; x2 – затрати праці, млн. днів. Для знаходження оцінок параметрів моделі використаємо математичний апарат матричної алгебри.

Введемо позначення:

		1,2			1 2,5 4,0
					1 2,8 4,2
		1,5			1 2,8 4,2
		1,9
		1,9			1 3,0 3,6

	a0	2,2			1 3,6 4,6
	a0
A =	a	; Y =	2,8	;	X = 1 3,9 4,3 .
	1	3,1			1 4,2 5,1
		3,1			1 4,2 5,1
	a2		3,4		1 4,5 5,3
			3,4		1 4,5 5,3
			4,5
			4,5		1 5,0 4,8
			4,8		1 5,6 5,4
			4,8		1 5,6 5,4
			5,4
			5,4		1 6,0 5,8

481

Оператор оцінювання знайдемо користуючись формулою (16.16): A = (X ′X )−1 X ′Y , де X ′– матриця, транспонована до матриці X.

1. Знаходимо добуток двох матриць:

													1	2,5
														2,8
													1	2,8
														3,0
													1	3,0
		1		1	1	1	1		1	1 1	1	1	1	3,6
		1		1	1	1	1		1	1 1	1	1
(X	′ X )=		2,5 2,8 3,0 3,6 3,9 4,2 4,5 5,0 5,6 6,0										× 1 3,9
													1	4,2

			4,0 4,2 3,6 4,6 4,3 5,1 5,3 4,8 5,4 5,8											4,5
													1	4,5
														5,0
													1	5,0
													1	5,6
														6,0
													1	6,0

	10	41,1		47,1
	41,1	181,5		200,2
=	41,1	181,5		200,2	.
	47,1	200,2		226,2
	47,1	200,2		226,2								′
												′
	2. Знаходимо обернену матрицю до матриці (X X ):
					′			8,92		1,22	− 2,93
					′	−1	=		1,22	0,4	−
					(X X )		=		1,22	0,4	−	0,61 .
									− 2,93
									− 2,93	− 0,61 1,51

3. Знаходимо добуток двох матриць X ′ Y :

4,0

4,2

3,6

4,6

4,3 =

5,1

5,3

4,8

5,4

5,8

											1,2

											1,5
											1,9
												2,2
1		1	1 1 1			1	1 1		1	1		2,2		30,8
1		1	1 1 1			1	1 1		1	1				30,8
	2,5	2,8	3,0	3,6	3,9	4,2	4,5	5,0	5,6	6,0	×	2,8		141,84
X ′ Y =	2,5	2,8	3,0	3,6	3,9	4,2	4,5	5,0	5,6	6,0	×	2,8	=	141,84	.
	4,0	4,2	3,6	4,6	4,3	5,1	5,3	4,8	5,4	5,8		3,1
	4,0	4,2	3,6	4,6	4,3	5,1	5,3	4,8	5,4	5,8		3,4	152,77
												3,4
												4,5
												4,8
												4,8
												5,4
												5,4

482

4. Знаходимо значення оператора оцінювання:

′		′	8,92		1,22	− 2,93		30,8	− 0,97
	−1			1,22	0,4			141,84			1,4
A = (X X )		(X Y )=				− 0,61	×			=		.
				− 2,93	− 0,61	1,51					− 0,37
							152,77

Отже, нами отримано таку економетричну модель:

Y= −0,97 +1,4x1 −0,37x2 .

Увипадку лінійної форми зв’язку коефіцієнт граничної

продуктивності співпадає із відповідним оціночним значенням, тобто

має місце Г		=	∂y	= a
	j				j	, j =1, m	.

			∂xj
Так, наприклад,					для нашої моделі Г1 = a1 =1,4 означає, що при

збільшенні вартості основних фондів на 1 млн. грн. прибуток підприємства зросте на 1,4 млн. грн.

Коефіцієнт еластичності знайдемо за допомогою формули:

δy

= a

δxj

Наприклад, E

= a

=1,4

3,21

=1,46

означає, що збільшення

3,08

основних виробничих фондів на 1 % призведе до зростання прибутку на 1,46 %.

16.4.1. Коефіцієнт множинної кореляції та детермінації

Основним показником щільності кореляційного зв’язку між результативним показником Y i всіма незалежними змінними x j (j =1, m), а також ступеня близькості вибраного виду математичної

залежності до вибіркових даних є коефіцієнти множинної кореляції та детермінації.

Коефіцієнт множинної детермінації обчислюється за формулою:

y )

∑(yi

−

R2 =

i=1

− y )2 .

(16.33)

∑(yi

Враховуючи рівність

i=1

− ˆ

∑(yi

−

y )

−

y )

∑(yi

(16.34)

∑(yi

yi )

i=1

483

маємо:

n		y )		n		y )		n	yi )	.
∑(yi	−	y )	2 =	∑(yi	−	y )	2 −	∑(yi	yi )	.
ˆ	−		2 =		−		2 −		− ˆ	2
i=1				i=1				i=1

Тоді вираз для R2 матиме вигляд:

y )

yi )

∑(yi

−

2 −

∑(yi

− ˆ

R2 =

i=1

=1−

i=1

∑(yi − y )2

∑(yi − yi )2 .

i=1

З останньої формули випливає, що якщо ∑(yi − yˆi )2

i=1

(16.35)

(16.36)

= 0 , то

R2 =1. Отже, якщо всі вибіркові значення показника розміщені на лінії регресії, то коефіцієнт множинної детермінації дорівнює одиниці. Далі можна зробити висновок: чим ближче вибіркові значення наближаються до лінії регресії, тим ближче R2 наближаються до одиниці, а отже, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних факторів. Як бачимо, коефіцієнт множинної детермінації показує частку варіації результативної ознаки, яка знаходиться під впливом досліджуваних факторів, тобто визначає, яка частка варіації ознаки y врахована в моделі та викликана впливом вибраних факторів. Його числове значення змінюється від нуля до одиниці, тобто R2 [0;1]. Якщо R2

прямує до нуля, то у вибірці відсутній взаємозв’язок між залежною та незалежними змінними.

Характерною особливістю коефіцієнта детермінації R2 є те, що він – неспадна функція від кількості факторів, які входять до моделі. Отже, якщо кількість незалежних факторів зростає, то значення R2 так само зростає.

З рівності (16.36) маємо:

		n
R2 =1−		∑ei2	,	(16.37)
		i=1
	n
	∑(yi − yi )2
	i=1

причому значення знаменника у виразі			(16.37) не залежить від
кількості факторів	{xj , j =1, m	}, тоді	як чисельник, навпаки,

знаходиться у зворотній залежності. Тобто при зростанні числа

незалежних факторів величина ∑ei2 спадає або не зростає.

i=1

484

Тому при співставленні між собою двох регресійних моделей для однакових залежних змінних, але з різною кількістю незалежних факторів, перевагу треба віддати тій моделі, для якої значення R2 є більшим.

Виведемо формулу знаходження R2 з допомогою математичного апарату матричної алгебри. Для цього окремо представимо чисельник і знаменник у матричній формі:

= e′e

′

=Y′Y − A′ X ′ XA =

∑ei

=Y′Y −Y′Y

=Y ′Y −(XA) (XA)

(16.38)

i=1

′

−1

′

′ ′

′

Y .

Y − A X X

(X X )

Y − A EX

Y =Y

Y − A X

′

∑(yi − y)

− 2 y∑ yi

+ ny

. (16.39)

= ∑ yi

= Y Y − 2 yny + ny

=Y Y − ny

i=1

Враховуючи значення виразів (16.38) та (16.39), запишемо формулу для знаходження R2 у матричній формі:

′

′ ′

′

′ ′

′

−

Y Y

− A X Y

Y Y − ny

−Y Y

+ A X Y

A X Y − ny

. (16.40)

′

− ny

Y Y − ny

Y Y

Припустимо, що ми хочемо порівняти значення коефіцієнтів детермінації в різних моделях. У таких випадках потрібно корегувати коефіцієнт кореляції з урахуванням кількості незалежних факторів, які входять до складу різних моделей, тим самим зменшити вплив залежності значень коефіцієнта детермінації від кількості факторів. Для зменшення цього впливу введемо спеціальний оцінений або скорегований, або приведений коефіцієнт детермінації R 2 . З цією метою поділимо чисельник та знаменник у правій частині (16.37) на число відповідних ступенів вільності. Як результат, у чисельнику та знаменнику будемо мати незміщені дисперсії σe2 та σ2y , тобто оцінену

дисперсію залишків та вибіркову дисперсію залежної змінної. Враховуючи умови (16.38) та (16.39), остаточно одержимо:

		1	∑ei2
			n
	2 =1−	n − m −1 i=1
R		n − m −1 i=1
R
		1 ∑(yi	− y)2
		n

n −1 i=1

	n −1	′	′ ′
=1−		Y Y	− A X Y		.	(16.41)
	n − m −1	′		2
		Y Y − ny

Умова (16.40) дає нам:

Y ′Y − A′X ′Y =1− R 2 . Y ′Y − ny 2

Можна довести, що між оціненим коефіцієнтом детермінації R 2 і R2 існує такий зв’язок:

485

	2		−(1− R	2	)	n −1
R		=1
							.	(16.42)
						n − m −1
Враховуючи вираз			(16.42),			можна зробити		висновки: якщо

кількість незалежних факторів зростає, то оцінений коефіцієнт детермінації зростає меншими темпами, ніж звичайний коефіцієнт детермінації. А отже, зменшується вплив кількості факторів на величину коефіцієнта детермінації. Доцільно це робити при порівнянні регресійних моделей. Зауважимо, що оціночний коефіцієнт, на відміну від звичайного коефіцієнта детермінації може набувати і від’ємного значення. При цьому R2 прямує до нуля. Якщо R2 =1, то R 2 теж дорівнює одиниці.

Доповнимо наведену вище методику оцінки якості побудованої моделі ще одним показником – частковим коефіцієнтом детермінації,

який розраховується за формулою:
R2 =	1− R2	t 2		,				(16.43)
R2 =	n − j	t 2		,				(16.43)
j	n − j		j
де j – індекс незалежної змінної,			;		R2j – частковий коефіцієнт
де j – індекс незалежної змінної,	j =1,m		;		R2j – частковий коефіцієнт
						a	j	− a
детермінації для j-ої незалежної	змінної;				t j =		j	j	, t j -статистика
детермінації для j-ої незалежної	змінної;				t j =				, t j -статистика
							σaj

для j-го коефіцієнта регресії (aj –довільне задане та обґрунтоване число, наприклад, можна взяти aj = 0 ); σaj – стандартна помилка

оцінки aj j-го регресійного коефіцієнта.

Частковий коефіцієнт детермінації використовується для обчислення граничного вкладу j-ої незалежної змінної у коефіцієнт детермінації. Він показує величину впливу j-го показника на якість моделі. Тобто наскільки зменшиться коефіцієнт детермінації, якщо j- ий фактор буде виведений з моделі.

Одним з основних показників тісноти кореляційного зв’язку

результативного показника y з факторами x j			(j =		), а також мірою
				1,m
ступеня відповідності даних yˆi (i =		) є	коефіцієнт множинної
	1,n

кореляції. Він визначається як коефіцієнт кореляції між y і yˆ та має вигляд:

486

y )(yi

y )

∑(yi

−

(16.44)

ryyˆ

= R =

i=1

−

y )

−

∑(yi

y )

i=1

Квадрат коефіцієнта множинної кореляції, як і у випадку простої

регресії, називається коефіцієнтом

детермінації, тобто

має місце:

R = R2 .

Він характеризує тісноту лінійного зв’язку незалежних факторів x j (j =1,m) із результативним показником y. Для множинного

коефіцієнта кореляції (з врахуванням і без врахування коефіцієнта числа ступенів вільності) характерна така сама зміна числового значення, як і для випадку з коефіцієнтом детермінації.

Приклад 16.2. Використавши умову прикладу 16.1, необхідно знайти коефіцієнт множинної детермінації та кореляції.

♦Розв’язування.

Для знаходження коефіцієнта множинної детермінації застосуємо формулу (16.33):

										n		y )
									∑(yi		−	y )		2
										ˆ	−			2
							R2 =		i=1
							R2 =		n
									∑(yi − y )2 ,
								ˆ		i=1
де y – середнє значення всіх yi;								ˆ		– розрахункові значення yi.
де y – середнє значення всіх yi;								yi		– розрахункові значення yi.
		yˆ1 = −0,97 +1, 4 2,5 −0,37 4,0 =1, 05 ,
		yˆ2 = −0,97 +1, 4 2,8 −0,37 4, 2 =1, 4 ,
		… … … … … … … … … … … …
	yˆ10		= −0,97 +1, 4 6,0 −0,37 5,8 = 5, 28 .
Для спрощення розрахунків побудуємо таблицю:
№ п/п			y		−	y		ˆ				ˆ			−	y	(yi − y )	2	ˆ	−	y )	2
№ п/п	yi		y	i		y		y				y		i		y			ˆ	−
	yi			i						i				i					(yi
																	3,53
1	1,2		-1,88					1,05				-2,03					3,53		4,12
2	1,5		-1,58					1,4				-1,68					2,5		2,82
3	1,9		-1,18					1,9				-1,18					1,39		1,39
4	2,2		-0,88					2,37				-0,71					0,77			0,5
5	2,8		-0,28					2,9				-0,18					0,08		0,03
6	3,1		0,02					3,02				-0,06					0,0004		0,004
7	3,4		0,32					3,37					0,29				0,102		0,08
8	4,5		1,42					4,25					1,17				2,02		1,37
9	4,8		1,72					4,87					1,79				2,96			3,2
10	5,4		2,32					5,28						2,2			5,38		4,84
∑	30,8																18,736		18,354

487

	n	10
y =	∑ yi	=	∑ yi	=	30,8	= 3,08.
	i=1		i=1
	n				10
		10

Знайдені значення підставимо у нашу формулу, внаслідок чого коефіцієнт множинної детермінації матиме таке значення:

R2 = 1818,,354736 = 0,9796.

Отже, 97,96 % загальної дисперсії пояснюється загальною залежністю обсягу прибутку від вартості основних виробничих фондів та затрат праці. І тільки 2,04 % загальної дисперсії не може бути пояснено отриманою нами залежністю. Таким чином, можна зробити висновок, що побудована модель статистично значима.

Тоді коефіцієнт множинної кореляції буде:

R = R2 = 0,9796 = 0,9897 .

Отримано досить високий коефіцієнт множинної кореляції. Це свідчить про те, що зв’язок між величиною прибутку, вартістю основних фондів i затратами праці досить тісний.

16.4.2. Парна кореляція

Коефіцієнти парної кореляції використовуються для вимірювання сили лінійних зв’язків різних пар змінних (ознак) із заданої множини. При цьому враховується, що зв’язок кожної пари ознак знаходиться під впливом зв’язків всіх інших ознак між собою та ознаками із окресленої пари. Парні коефіцієнти кореляції можна визначити за формулою:

ryx =

n∑xi yi −∑xi ∑yi

(16.45)

i=1

n∑xi2 −

∑xi

n∑yi2 −

∑yi

i=1

Розглянемо процедуру альтернативного обчислення парних коефіцієнтів кореляції. Спочатку проведемо нормалізацію всіх вхідних даних за формулами:

		y − y			xj − xj

y	=		; xj	=		; j =1, m ,	(16.46)
		σy			σx j

488

де y – середнє значення залежної змінної; xj – середнє значення j-ої незалежної змінної; y – нормалізована залежна змінна; xj – нормалізована j-та незалежна змінна; σy – середнє квадратичне

відхилення залежної змінної; σx j

– середнє квадратичне відхилення j-

ої незалежної змінної.

Зауважимо, що має місце:

x = 0, y = 0, σ2 =1, σ2 =1.

x j

Перейдемо до знаходження парних коефіцієнтів кореляції між

залежною та незалежними змінними:

= r

′ x

, j =1, m .

(16.47)

yx j

Для незалежних змінних має місце:

r = r

′

, k

=1, m,

j =1, m.

(16.48)

x x

Парні коефіцієнти кореляції утворюють кореляційну матрицю

(матрицю парних коефіцієнтів кореляції):

rYY

rYx1

rYx2

… rYxm

[Rn ]=

rx1Y

rx1x1

rx1x2

… rx1xm

… rx

(16.49)

rxm x1

rxm x2

rxmY

… rxm xm

Ця

матриця

симетричною

відносно головної

діагоналі

(rxk x j = rx j xk

), а елементи якої рівні одиниці.

Припустимо, що змінна y одночасно залежить від двох факторів x1 та x2. Тоді коефіцієнт множинної кореляції:

	r2 + r2	− 2r	r	r
r =	y1 y2	y1	y2	12	,	(16.50)
r =	1− r2				,	(16.50)
y12	1− r2
		12

де ry1 , ry2 , r12 – відповідні парні коефіцієнти кореляції.

Узагальнюючи (16.50) і використавши матричну форму запису, можна виразити коефіцієнт множинної кореляції для довільного числа пояснювальних змінних таким чином:

′ −1	r, ry.12…m	=	R	2	,	(16.51)
R = r Rm

489

де ry12…m – множинний коефіцієнт кореляції; r – вектор парних

коефіцієнтів кореляції між залежною та пояснювальними змінними; Rm – матриця парних коефіцієнтів кореляції між пояснювальними змінними;

ry
	1
r = ry2		; R
		m

r
	ym

rx x

=1 1rxm x1

r			r		r
x x				11	1m
1	m	=
r					r	.
			r
xm xm				m1	mm

Приклад 16.3. Використавши умову прикладу 16.1, необхідно знайти коефіцієнт парної кореляції.

♦Розв’язування.

Коефіцієнти парної кореляції знайдемо, застосувавши формулу

(16.45):

ryx =

n∑xi yi −∑xi

∑yi

i=1

n∑xi2 −

∑xi

n∑yi2 −

∑yi

i=1

Побудуємо розрахункову таблицю:

№п/п	y	x	x	y x	y x	x x	x	2	x	2	y	2
	i	1i	2i	i 1i	i 2i	1i 2i	x		x		y
							1i		2i		i
1	1,2	2,5	4,0	3	4,8	10,00	6,25		16		1,44
2	1,5	2,8	4,2	4,2	6,3	11,76	7,84		17,64		2,25
3	1,9	3,0	3,6	5,7	6,84	10,80	9,00		12,96		3,61
4	2,2	3,6	4,6	7,92	10,12	16,56	12,96		21,16		4,84
5	2,8	3,9	4,3	10,92	12,04	16,77	15,21		18,49		7,84
6	3,1	4,2	5,1	13,02	15,81	21,42	17,64		26,01		9,61
7	3,4	4,5	5,3	15,3	18,02	23,85	20,25		28,09		11,56
8	4,5	5,0	4,8	22,5	21,6	24,00	25,00		23,04		20,25
9	4,8	5,6	5,4	26,88	25,92	30,24	31,36		29,16		23,04
10	5,4	6,0	5,8	32,4	31,32	34,80	36,00		33,64		29,16
∑	30,8	41,1	47,1	141,84	152,77	200,20	181,51		226,19		113,6

490

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 7149 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.02.201610.49 Mб102MV_do_vik_lab_MTVP.doc
#
11.02.2016636.93 Кб108MV_Labor_Zagal_tekhn_brod_zvich_2011.doc
#
11.02.2016349.18 Кб68MV_Tekhnol_brod_virobnitstv_denna_2010.doc
#
19.11.201949.66 Кб2MY FUTURE SPECIALITY.doc
#
11.02.2016401.92 Кб62n1.doc
#
12.02.20164.89 Mб106Navch._posibnuk_Ivaschyk.pdf
#
11.02.20161.48 Mб1366Navch_metod_posibn_Ek_teoriya_2011-2.doc
#
12.02.201651.81 Кб15NDRS_zvit.docx
#
11.02.2016179.71 Кб38Negotiating-topic.doc
#
11.02.20161.81 Mб530Negotiations.doc
#
12.09.2019171.52 Кб11N_a_13.doc