9.4. Возможность усиления и генерации в квантовых системах

Возможность усиления и генерации в квантовых приборах свя­зана с наличием вынужденного излучения в среде, на которую воздействует электромагнитное поле. Однако при этом происхо­дят вынужденные переходы с поглощением энергии и релакса­ционные переходы. Вынужденные переходы с излучением и погло­щением энергии имеют резонансный характер, так как происхо­дят при совпадении частоты поля с частотой квантового перехода, точнее, когда частота поля находится в пределах спектральной линии вещества.

Рассмотрим обмен энергии между полем и веществом. Будем предполагать, что вещество имеет два энергетических уровня и с населенностями и (рис. 9.6), а частота внешнего по­ля равна частоте квантового перехода . При объемной плотно­сти энергии число вынужденных переходов в единицу времени в единице объема с выделением энергии с учетом (9.15)

, (9.33)

а выделяемая при этих переходах энергия в единице объема в единицу времени, т. е. мощность,

. (9.34)

Аналогично число вынужденных переходов с поглощением энергии и поглощаемая от внешнего поля мощность в единице объема соответственно равны:

(9.35)

. (9.36)

С учетом (9.34) и (9.36) изменение мощности электромагнитного поля

(9.37)

Назовем эту величину мощностью взаимодействия.

Если , т. е. выделяемая мощность превышает поглощае­мую, то в системе происходит увеличение энергии поля, или уси­ление электромагнитного поля. При преобладает поглоще­ние энергии и энергия внешнего поля убывает.

Таким образом, условием усиления () из (9.37) будет или

. (9.38)

В обычном состоянии термодинамического равновесия насе­ленность верхнего уровня меньше, чем нижнегов соот­ветствии с законом Больцмана (9.18). Поэтому вещество в этом состоянии поглощает энергию внешнего поля , так как число квантовых пере­ходов снизу вверх с поглоще­нием энергии больше числа квантовых пере­ходов сверху вниз с выделением энергии.

Соотношение является обратным (инверсным) по отношению к состоянию термодинамического равновесия, когда . Поэтому состояние, при котором , т. е. возможно усиление, называют состоянием с инверсией населенностей уровней.

Закон Больцмана (9.18), справедливый только для термоди­намического равновесия, можно записать

(9.39)

Величину называют температурой перехода. В состоянии тер­модинамического равновесия , т.е. . Если формально воспользоваться (9.39) для состояния с инверсией населенностей (), то получится отрицательная температура перехода (). Только в состоянии термодинамического равновесия тем­пература перехода совпадает с истинной температурой вещества . Условие усиления эквивалентно отрицательной темпе­ратуре перехода (). Поэтому состояние с инверсией насе­ленностей уровней иногда называют состоянием с отрицательной температурой, а неравенство — условием усиления в кван­товых системах. Среда, в которой имеется состояние с инверсией населенностей, называется также активной средой, так как в ней возможно усиление электромагнитного поля.

В состоянии термодинамического равновесия , поэтому при воздействии электромагнитного поля число вынужденных пе­реходов снизу вверх больше числа вынужденных перехо­дов сверху вниз : населенность нижнего уровня убывает, а верхнего — растет. При достаточно большой объемной плотности, энергии поля может произойти выравнивание населенностей уровней когда числа вынужденных переходов и равны, т. е. наступает динамическое равновесие. Явление выравнивания населенностей уровней называют насыщением пе­рехода. Таким образом, при воздействии электромагнитного поля на двухуровневую систему можно добиться насыщения перехода, но не инверсии населенностей.

Населенности уровней при любом значении объемной плотно­сти энергии поля находятся из решения скоростных (кинетиче­ских) уравнений. Для двухуровневой системы скорости изменения населенностей уровней:

(9.40)

(9.41)

, (9.42)

где — полное число частиц.

Поясним процедуру составления (9.40) и (9.41). Населен­ность уровня в единицу времени убывает вследствие вынуж­денных переходов на , а из-за безызлучательных пе­реходов на . Одновременно происходит рост населенности вследствие переходов на (вынужденные перехо­ды), (спонтанные переходы) и (безызлучательные пе­реходы). Аналогично в (9.41) первые два слагаемые учитывают увеличение в результате вынужденных и безызлучательных переходов , а остальные определяют убывание вследствие вынужденных и спонтанных и безызлучательных переходов . Очевидно, что для двухуровневой системы при сохранении полно­го числа частиц .

В стационарном состоянии , поэтому вместо (9.40) — (9.42) можно написать систему двух уравнений:

; (9.43)

(9.44)

Решая эту систему уравнений, можно найти стационарные ве­личины и , а затем их разность или соотношение:

(9.45)

(9.46)

(9.47)

(9.48)

где

. (9.49)

На рис. 9.7а показаны зависимости и от объемной плот­ности энергии для случая, когда система до воздействия элек­тромагнитного поля находилась в термодинамическом равнове­сии с населенностями и определяемыми законом Больцмана (9.18). Из (9.45) и (9.46) следует, что при малых зна­чениях населенность нижнего уровня убывает, а верхнего растет по линейному закону. При очень больших значениях плотности энергии и стремятся к среднему зна­чению , соответствующему насыщению пере­ходов.

На рис. 9.76 показаны зависимости и от объемной плотности энергии при воздей­ствии электромагнитного поля на систему с инверсией населенно­стей уровней. При отсутствии поля населенности уров­ней равны и , причем . С ростом убывает, а растет от значений и по линейному закону, но при больших асимптотически приближаются к среднему значению , соответствующему насыщению перехода.

Разность населенностей уровней (9.47) определяет мощность взаимодействия , введенную (9.37). Подставляя (9.47) в (9.37), получим

(9.150)

Эта формула позволяет найти зависимость мощности взаимодей­ствия от объемной плотности энергии электромагнитного по­ля, взаимодействующего с веществом. Зависимость , пред­ставленная на рис. 9.8, определяется в (9.50) отношением . При увеличении мощность сначала, когда , линейно растет, а затем стремится к предельному зна­чению , которое определяется путем раскрытия неопределен­ности в (9.50) при , т. е. в состоянии насыщения перехода:

. (9.51)

Таким образом, в состоянии насыщения при , когда мощность, выделяемая при вынужденных переходах , равна мощности, поглощаемой при вынужденных переходах , от электромагнитного поля отбирается мощность . Эта мощность необходима для поддержания равенства населенностей уровней, которое постоянно стремится нарушаться из-за наличия спонтанных и безызлучательных переходов с вероятностями . Число этих переходов непосредственно от плотности не зависит и определяется только населенностью уровней. Полу­чаемая от электромагнитного поля энергия рассеивается в веще­стве, например в кристаллической решетке, в виде тепла.