4.2. Замедляющие системы

Наибольшее распространение в технике СВЧ получили замед­ляющие системы, представляющие собой линии передачи с пери­одически повторяющимися неоднородностями. Некоторые из них представлены на рис. 4.3, где 1 — спираль, 2 — гребенка, 3 — встречные штыри, 4 — сдвоенный меандр на диэлектрической подложке, 5 — диафрагмированный волновод, 6 — диафрагмиро­ванный волновод с индуктивными щелями связи, 7 — «лист кле­вера», 8 — меандр на диэлектрической подложке.

Широко используется замедляющая система в виде цилиндри­ческой спирали. Эта замедляющая система была использована Р. Компфнером в 1944 г. в первой ЛБВ, и сейчас большинство серийно выпускаемых ЛБВ тоже использует спиральную замед­ляющую систему, что объясняется многими ее достоинствами. Ни одна из известных замедляющих систем не может конкурировать со спиралью в отношении широкополосности. При упрощенном рассмотрении процессов в такой системе можно предполагать, что волна Т распространяется со скоростью света с вдоль спираль­ного проводника. Пусть D будет средний диаметр спирали, а L — ее шаг. Тогда время, за которое волна обегает один виток,

.

Если шаг спирали много меньше диаметра, т. е. , имеем .

Рис. 4.3

Волна за то же время проходит вдоль оси спирали путь, равный L. Следовательно, фазовая скорость волны вдоль оси спирали равна или

.

Обычно замедляющую систему характеризуют коэффициентом за­медления , равным отношению скорости света к фазовой ско­рости замедленной электромагнитной волны. Тогда

. (4.2)

Коэффициент замедления тем больше, чем больше отношение длины витка к шагу спирали. Изменяя диаметр спирали D и ее шаг L, можно в широких пределах изменять коэффициент замед­ления.

Более точный анализ распространения электромагнитных волн вдоль спирали показывает, что спираль обладает дисперсией, т. е. фазовая скорость волны в спирали зависит от частоты. Но на до­статочно высоких частотах (4.2) дает хорошее приближение.

Рассмотрим некоторые общие закономерности распростране­ния электромагнитных волн в замедляющих системах. Замедля­ющие системы представляют собой периодические структуры, име­ющие свойства полосовых фильтров с бесконечным числом полос пропускания. В приборах используется чаще всего полоса, про­пускающая самые низкие частоты, она называется основной. Ос­тальные полосы называются высшими.

Поле в периодической структуре удовлетворяет теореме Флоке, которая утверждает, что среди решений уравнений Максвел­ла, удовлетворяющих граничным условиям, всегда найдется та­кое решение, при котором поля в соседних ячейках отличаются лишь постоянным множителем , т. е.. В полосе пропускания для систем без потерь величина — мнимая. Это означает, что поле в соседних ячейках отличается лишь сдвигом по фазе на угол . Введем обозначение ( — постоянная распространения волны) и умножив обе части равенства на , при этом заметим, что функция—периодическая, а ее период сов­падает с периодом структурыL. Отсюда следует, что поле в си­стеме E(z) можно представить в виде произведения двух перио­дических функций: E₀(z) и . Учитывая и временной множи­тель , можно записать

. (4.3)

Функция E₀(z)—периодическая, L — ее период. Разложение E₀(z) в ряд Фурье дает

, (4.4)

где

.

Подставляя (4.4) в (4.3), получим

. (4.5)

Распределение поля в системе представлено в виде суммы бес­конечного числа бегущих волн с амплитудами а_т(х,у) и посто­янными распространения

, (4.6)

Эти волны называются пространственными гармониками К. Их со­вокупность удовлетворяет периодическим граничным условиям. Решение в виде одной пространственной гармоники не может удовлетворить граничным условиям. Все гармоники изменяются с одной и той же частотой. Каждой пространственной гармонике соответствует своя фазовая скорость, которая определяется соот­ношением

. (4.7)

Групповая скорость всех пространственных гармоник одинакова:

. (4.8)

Зависимость фазовой скорости (или коэффициента замедле­ния) от частоты в свободном пространстве называется дисперси­ей замедляющей системы, а графики этих зависимос­тей — дисперсионными характеристиками или кривы­ми дисперсии. Каждой про­странственной гармонике со­ответствует определенная ветвь дисперсионной харак­теристики.

Волна (или пространст­венная гармоника), у кото­рой направления групповой и фазовой скоростей одина­ковые, называется прямой волной, волна с противоположными на­правлениями скоростей — обратной волной.

В зависимости от знака производной дисперсия мо­жет бытьнормальной () и аномальной (). При увеличении частоты нормальная дисперсия характери­зуется уменьшением абсолютного значения фазовой скорости, а аномальная — ростом. Для всех обратных гармоник дисперсия аномальная, прямые гармоники могут иметь как нормальную, так и аномальную дисперсию.

Рис. 4.4

На рис 4.4. показана дисперсионная характеристика замедля­ющей системы. По оси абсцисс отложен фазовый сдвиг на один период замедляющей системы , определяемый (4.6), а по оси ординат — частота. Сплошные кривые относятся к гармо­никамm = 0, ±1, ±2. Нулевая гармоника (m = 0) соответству­ет изменению угла от 0 до. Эти пределы в соответствии с тео­рией фильтров определяют полосу пропускания, заключенную ме­ждуи. Сдвиг фазы для гармоникит= +1 по определению (4.6) на больше, чем прит=0, поэтому кривая для т= +1 существует в пределах . Соответственно смещаются навправо кривые при каждом увеличении на единицу номерат. Переход от т = 0 к т= -1 эквивалентен смещению кривой в об­ласть фазы от -до -и т. д. Полоса пропускания для всех пространственных гармоник одинакова и равна полосе пропуска­ния замедляющей системы.

Фазовая скорость гармоники с учетом (4.7) пропорциональна тангенсу угла наклона прямой, проведенной через начало ко­ординат и точку дисперсионной кривой для выбранной частоты. Групповая скорость гармоники пропорциональна производной в данной точке, т. е.. Очевидно, что на границах полосы про­пускания групповая скорость гармоник равна нулю (экстремаль­ные точки кривых). Групповая скорость всех пространственных гармоник при данной частотеодинакова и положительна. Для варианта замедляющей системы, дисперсионная характеристика которой приведена на рис. 4.4, наибольшая фазовая скоростьнулевой гармоники. С увеличением положительного номерат фа­зовая скорость уменьшается, фазовые скорости гармоник т=-1,-2 отрицательны (противоположны направлению групповой скоро­сти) и также уменьшаются с ростом номера. В рассматриваемом случае гармоники т = 0, +1, +2 — прямые, а т=-1, -2 — об­ратные.

Используя дисперсионные кривые, можно выяснить зависи­мость фазовой скорости любой пространственной гармоники от частоты. В нашем примере прямая нулевая гармоника имеет нор­мальную дисперсию (фазовая скорость уменьшается с ростом частоты). Обратные гармоники (т = -1, -2) обладают аномаль­ной дисперсией. Легко убедиться, что для прямой гармоники т= +2 вблизи границ пропускания дисперсия нормальная, а в остальной области аномальная.

Важной характеристикой замедляющей системы является сопротивление связи, которое характеризует эффективность взаимодействия электронного потока с полем в замедляющей системе. По определению сопротивление связи

. (4.9)

Чем больше продольная составляющая напряженности электри­ческого поля Е_zт в месте прохождения электронного пучка при данном потоке мощности Р в системе, тем больше сопротивление связи.

Если выразить поток мощности через запасенную энергию W на единицу длины системы и групповую скорость (), то со­противление связи

. (4.10)

Так как групповая скорость входит в выражение для сопротив­ления связи, то тем больше, чем меньше крутизна дис­персионной характеристики (см. рис. 4.4).

Изменяя скорость электронов регулировкой ускоряющего напряжения, можно выполнить условия синхронизма для любой пространственной гармоники. Так как фазовая скорость нулевой пространственной гармоники наибольшая, то для взаимодействия с ней необходима наибольшая скорость электронов, что требует высокого ускоряющего напряжения. Для взаимодействия элект­ронного потока с высшими гармониками замедляющей системы скорость электронов должна быть меньше и соответственно мень­ше будут ускоряющие напряжения. Однако взаимодействие с высшими пространственными гармониками для систем1, 2, 6 на рис. 4.3 получается неэффективным, поскольку они имеют малое сопротивление связи. Поэтому в приборах СВЧ используются в основном нулевая и плюс первая или минус первая гармоника. Прямые пространственные гармоники используются в ЛЕВ, а обратные — в ЛОВ. Дисперсионная характеристика замедляю­щей системы определяют ширину полосы частот усилителя и диа­пазон электронной перестройки генератора.

Строгий метод расчета замедляющих систем основывается на решении уравнений Максвелла с учетом конкретных граничных условий. Однако сложность конфигурации большинства замедля­ющих систем затрудняет решение этой задачи. Часто применяют­ся различные приближенные методы, среди которых широко рас­пространен метод эквивалентных схем. Замедляющая система представляется эквивалентной схемой в виде цепочки ячеек филь­тра с сосредоточенными постоянными. Этот метод позволяет оце­нить ширину полосы пропускания, а также качественно опреде­лить влияние отдельных элементов замедляющей системы на ее характеристики.