4.3. Элементы линейной теории лбв

Обычно ЛБВ используются для усиления слабого сигнала. В этом случае приближенный анализ процесса взаимодействия электронного потока с полем бегущей волны возможен на основе линейной теории ЛБВ. При этом предполагается, что все перемен­ные составляющие величин, характеризующих электронный по­ток, много меньше их постоянных составляющих.

Задачу взаимодействия электронного потока с полем бегущей волны рассматривают в три этапа. Сначала анализируется во­прос о возбуждении сгруппированным электронным потоком волн в замедляющей системе, которая заменена эквивалентной длин­ной линией с распределенными постоянными. Затем рассматрива­ется процесс группирования электронов под действием бегущей волны в замедляющей системе. Полученные на предыдущих эта­пах уравнения решаются совместно, в результате чего находится так называемое дисперсионное уравнение ЛБВ [3]. Опуская ма­тематические выкладки, запишем это уравнение

. (4.11)

где Г₀ — постоянная распространения волн в замедляющей сис­теме без электронного потока (холодная система); Г — постоян­ная распространения волн в замедляющей системе с электронным потоком (горячая система),.

Выражение (4.11) является уравнением четвертой степени относительно Г. Его решение определяет постоянные распространения для четырех волн в рассматриваемой системе. Из этих волн инте­рес представляют те, которые распространяются в направлении электронного пучка и имеют скорость, близкую к скорости элек­тронов.

Предположим, что скорость электронов сделана равной скоро­сти волны в линии без электронного потока, т. е. в (4.11)

. (4.12)

Рассмотрим волны, скорость, которых близка к скорости элек­тронов. В этом случае можно считать, что постоянная распрост­ранения Г отличается от на небольшую величину . Тогда

. (4.13)

Подставив (4.12) и (4.13) в (4.11), получаем

. (4.14)

Если , то в числителе можно пренебречь членами, содер­жащимии по сравнению с , а в знаменателе — по сравнению с . В результате получаем

. (4.15)

Обозначим

(4.16)

и введем новую переменную . Тогда (4.15) примет вид

. (4.17)

Это уравнение имеет три корня, соответствующие трем вол­нам, распространяющимся в направлении движения электронно­го потока и имеющим одинаковую структуру поля, но обладаю­щим различными постоянными распространения. Корни уравне­ния:

; ;.

Четвертая волна не учитывается в (4.17), поскольку сделанные выше предположения справедливы только для первых трех волн, имеющих скорость, близкую к скорости электронов. Четвертая волна имеет постоянную распространения

.

Так как обычно , то следовательно, С³ очень мало. Таким образом, постоянная распространения четвертой волны в отсутствие электронов и при их наличии практически одинакова. Четвертая волна распространяется в обратном направлении (от коллектора к катоду), и ее постоянная распространения равна постоянной распространения в замедляющей системе без учета влияния электронного потока.

Решение (4.11) получено в предположении (4.12). Такое допу­щение не учитывает дисперсии замедляющей системы. Более стро­гий анализ процессов взаимодействия электронов с полем бегу­щей волны позволяет определить допустимое различие скоростей электронов и волны, при котором еще возможно усиление лам­пы. Это различие приближенно можно оценить по формуле [3,5]

.

Таким образом рабочая полоса частот ЛБВ тем шире, чем больше параметр С и чем меньше зависит от частоты фазовая ско­рость электромагнитной волны в замедляющей системе (чем сла­бее дисперсия).

Три волны изменяются с расстоянием по закону

(4.18)

Подставляя полученные три значения в (4.18), можно убедить­ся, что для первых двух волн постоянная распространения будет комплексной величиной. Это значит, что амплитуды данных волн будут изменяться вдоль замедляющей системы. Первая волна яв­ляется нарастающей, фазовая скорость ее немного ниже скорости электронов. Амплитуда второй волны уменьшается, и она рас­пространяется также несколько медленнее электронов. Третья волна — незатухающая и распространяется быстрее электронов.

Таким образом, наибольший интерес для усиления волн в ЛБВ представляет первая волна, амплитуда которой и, следо­вательно, переносимая ею мощность экспоненциально возраста­ют вдоль замедляющей системы.