Задача 2.6 (27.53)

В условиях предыдущей задачи 2.5 (27.52) найти уравнения движения тела.

Решение

В решении предыдущей задачи показано, что уравнение вертикального движения тела имеет вид (7):

учитывая, что , тогда

. (1)

В горизонтальном движении дифференциальное уравнение движения имеет вид (см. предыдущую задачу, выражение (1)):

, тогда

, отсюда следует, что

. (2)

Для решения однородного дифференциального уравнения второго порядка составим характеристическое уравнение:

, отсюда

, поэтому r₁ = 0; r₂ = - kg.

Тогда решение уравнения (2) имеет вид:

.

Постоянные С₁ и С₂ определим по начальным условиям: t₀ = 0; x₀ = 0;

V_ox = V_ocosα.

или , отсюда:,

тогда , отсюда

,

. (3)

Выражение (3) представляет уравнение движения тела в горизонтальной плоскости.

Ответ: ,

.

Задача 2.7 (27.54)

При условии задачи (27.52) определить, на каком расстоянии S по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.

Решение.

Из решения задачи 2.6 (27.53) уравнение движения тела в горизонтальной плоскости имеет вид:

. (1)

Время движения тела до наивысшей точки траектории составляет (см. решение задачи (27.52)):

. (2)

Подставляя выражение (2) в уравнение (1), получим:

.

.

Ответ: Расстояние по горизонтали, когда тело достигнет наивысшей точки:.

Вопросы для самоконтроля:

1. Методика решения задач при прямолинейном движении точки?

2. Методика решения задач при криволинейном движении точки?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 27.1 – 27.68. [3].

Литература: [1] – [5].

Лекция 3 Динамика относительного движения точки

Законы динамики (законы Ньютона) верны для инерциальных систем отсчета (движение в которых называется абсолютным).

Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системе отсчета.

Пусть материальная точка М движется под действием приложенных к ней сил . Рассмотрим движение этой системы по отношению к осям, которые движутся относительно неподвижных осей(рис. 3.1).

Рис. 3.1

Определить зависимость между относительным ускорением точки и действующими на нее силами. Для абсолютного движения основной закон динамики имеет вид:

, (3.1)

где – абсолютное ускорение точки.

Из кинематики сложного движения точки известно, что:

, (3.2)

где – переносное ускорение точки,

–кориолисово ускорение точки.

Выведем обозначение: , тогда

, или

. (3.3)

Пусть – переносная сила инерции

– кориолисова сила инерции.

Тогда уравнение (3) примет вид:

. (3.4)

Уравнение (4) выражает основной закон динамики для относительного движения точки.

Из уравнений (1) и (4) следует, что уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются так же, как и уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить переносную и кориолисову силы инерции.

Прибавление сил иучитывает влияние на относительное движение точки перемещения подвижных осей.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если подвижные оси движутся поступательно, то , так как в этом случае(– угловая скорость вращения подвижных осей координат);, тогда. В этом случае уравнение (4) примет вид:

. (3.5)

2. Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно и прямолинейно, то и закон относительного движения будет иметь такой же вид, как и закон движения по отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая система отсчета также будет инерциальной.

3. Если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее иа, следовательно, и, так как кориолисово ускорение. Тогда равенство (4) примет вид:

. (3.6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляются так же, как уравнения равновесия в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную силу инерции.

4. При составлении уравнений относительного движения в случаях, когда , надо иметь в виду, что

, (3.7)

Поэтому сила перпендикулярна к, а значит и к касательной к относительной траектории точки. Следовательно:

а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную к относительной траектории точки всегда равна нулю и уравнение в относительном движении будет иметь вид:

, (3.8)

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю и теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении будет иметь вид:

, (3.9)

Задачи динамики относительно движения материальной точки рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Разложить абсолютное движение материальной точки на относительное и переносное; выбрать неподвижную систему отсчета, связанную с подвижной средой, совершающей переносное движение;

2. записать начальные условия относительного движения материальной точки;

3. изобразить на рисунке силы , приложенные к материальной точке;

4. определить ускорение материальной точки в переносном движении , ускорение Кориолиса, найти силы инерции в переносном движении, кориолисову силу инерции. Добавить эти силы инерции к силам, приложенным к материальной точке;

5. составить дифференциальные уравнения:

;

–если переносное движение вращается вокруг неподвижной оси;

–если переносное движение поступательное;

–если переносное движение равномерное и прямолинейное.

6. проинтегрировать составленные дифференциальные уравнения, определив постоянные интегрирования с помощью начальных условий движения;

7. определить искомые величины.

При решении прямой задачи, т.е. при определении сил по заданному движению пункты 2 и 6 надо опустить.