Задача 8.1 (28.2)

По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =30˚, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длиной l=39,2м, если коэффициент трения f=0,2.

Решение

На рис. 8.1. схематично представлено тяжелое тело массой m, спускающееся без начальной скорости. Выбираем направление оси координат OX по ходу движения тела. Начало координат соответствует исходному положению тела на наклонной плоскости (точка О). Изобразим силы, действующие на тело в произвольном положении. На тело действуют силы: -сила тяжести тела,- сила реакции опоры,-сила сопротивления.

Рис. 8.1

Применим теорему об изменении количеств движения для материальной точки:

, (1)

где: – вектор количества движения точки в начальный момент времени;

– вектор количества движения точки в конечный момент времени;

– вектор сил за время движения тела.

Так как тело по условию задачи спускается без начальной скорости, т.е=0, , то отсюда следует, что модуль вектора количеств движения в начальный момент равен нулю=0.

Тогда уравнение (1) будет иметь вид:

, (2)

Спроектируем векторное уравнение (2) на ось x:

.

Так как , движение тела происходит по осиx.

,

где: – время действия сил, или время движения тела по наклонной плоскости.

Так как , то :

, (3)

Подставляя выражение (3) в уравнение (2) получим:

, (4)

Учитывая, что Р=mg,и подставляя это выражение в уравнение (4), получим :

, (5)

Так как на тело действуют постоянные силы, то движение будет равно-ускоренным. Тогда:

, (6)

где: а – ускорение тела.

По условию задачи, начальная скорость тела равна нулю, поэтому:

, (7)

Из уравнения (7) следует:

, (8)

Скорость тела при равноускоренном движении определяется формулой:

Так как , то. Подставляя уравнение (8) получим:

, (9)

Подставляя выражение (9) в формулу (5) получим:

Отсюда следует, что:

Подставляя численные значения, получим:

.

Ответ: время прохождения пути составляет 4,85с.

2. Теорема об изменении количества движения механической системы Количество движения механической системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 8.3):

.

Рис. 8.3

, (8.8)

где – массаi^ой частицы системы;

– радиус-векторi^ой частицы системы;

– масса системы.

Следует, что:

, (8.9)

Продифференцируем дважды уравнение (8.9) по времени:

, или , (8.10)

Отсюда следует, что:

, (8.11)

Количество движения системы при сложном движении характеризует только поступательную составляющую движения.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

Для системы, состоящей из n материальных можно составить систему дифференциальных уравнений движения:

, (8.12)

Учитывая, что:

, (8.13)

Сравнивая уравнения (8.12) и (8.13) и учитывая, что (сумма внутренних сил равна нулю), получим:

, (8.14)

Уравнение (8.14) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя векторное уравнение (8.14) на оси координат, получим:

; ;, (8.15)

Пусть в момент времени система имела количества движения, а в момент временисистема имеет количества движения(рис. 8.4).

Рис. 8.4

Для перехода системы из состояния с количеством движения в состояние с количеством движениянеобходимо приложить силув течении некоторого времени.

Учитывая, что:

, (8.16)

Разделяя переменные в уравнении (8.16) и интегрируя, получим:

, (8.17)

после подстановки пределов интегрирования, получим:

, (8.18)

Так как – импульс силыза время.

В проекциях на координатные оси уравнение (8.18) будет иметь вид:

; ;, (8.19)

Уравнения (8.18) и (8.19) выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.