Задача 10.2 (38.20)

Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент М.

Определить скорость ленты транспортера V в зависимости от ее перемещения S, если вес поднимаемого груза А равен Р₁, а шкивы В и С радиуса r и весом Q каждый представляют собой однородные круглые цилиндры.

Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол α. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.

Рис.10.5а

Решение

Обозначим силы, действующие на объекты системы, состоящей из двух шкивов и груза.

α

M

B

A

C

r

h

„0”

S

A

„I”

Рис.10.5 б

В системе действуют силы: – сила тяжести грузаА, - силы тяжести шкивовВ и С.

Для определения скорости движения груза А по транспортерной ленте воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы:

, (10.24)

где: Т₀ – кинетическая энергия системы в начальном положении, так как система приводится в движение из состояния покоя, то Т₀=0;

Т_I – кинетическая энергия системы в некотором промежуточном положении;

- сумма работ внешних сил.

Тогда:

, (10.25)

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий каждого элемента системы:

, (10.26)

где: Т₁,Т₂ – кинетические энергии шкивов В и С;

Т₃ – кинетическая энергия груза А.

Так как шкивы В и С одинаковые, то Т₁=Т₂. По условию задачи, шкивы представляют однородные круглые цилиндры, тогда:

, (10.27)

где: I₀ – момент инерции шкива относительно оси вращения, ;

ω – угловая скорость вращения шкива.

Скорость перемещения груза А равна скорости точек на ободе шкива, поэтому: , гдеV – скорость перемещения груза А. Тогда:

, (10.28)

Рассмотрим кинетическую энергию движущегося груза А. Груз А движется по транспортерной ленте поступательно, поэтому

, (10.29)

Подставляя формулы (10.28) и (10.29) в выражение (10.26) получим:

, (10.30)

Рассмотрим сумму работ внешних сил:

, (10.31)

где: А₁ - работа, совершаемая вращающим моментом М, .φ – угол поворота шкива В;

А₃ – работа сил тяжести при перемещении груза, .h – изменение высоты при перемещении груза из начального положения в конечное.

Перемещение груза по транспортеру из начального положения в конечное S связано с высотой подъема груза формулой:

Перемещение S связано с углом поворота шкива формулой , отсюда. Тогда,. Подставляя эти выражения в формулу (10.31) получим:

, (10.32)

Подставляя выражения (10.31) и (10.32) в формулу (10.27) получим:

После преобразований получим:

Ответ: .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое кинетическая энергия материальной точки и механической системы?

2. Теорема об изменении кинетической энергии точки и механической системы?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 30.1. – 30.28., 38.1 – 38.54. [3].

Литература: [1] – [5].