Задача 12.1

Груз 1, силой тяжести Р₁, опускаясь вниз по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол приводит в движение ступенчатый каток 3, силой тяжести Р₃ посредством невесомой нерастяжимой нити переброшенной через неподвижный блок 2 силой тяжести Р₂. К блоку 2 приложен постоянный момент сопротивления . Радиусы блока 2 и катка 3 соответственно равны. Радиус инерции блока 2 относительно оси О –. Каток 3 считать однородным цилиндром. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Скольжение катка 3 по наклонной плоскости, а также нитей по блоку 2 отсутствует (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Определить ускорение груза 1 и реакции оси блока 2, применив к решению задачи принцип Даламбера для механической системы.

Решение

Рассмотрим движение каждого тела системы отдельно.

1. Для определения ускорения груза 1 рассмотрим движение груза 1 по наклонной плоскости (рис. 12.3).

Рис. 12.3

По условию задачи груз 1 движется вниз по наклонной плоскости под действием системы сил: – сила тяжести груза 1;– сила реакции опоры;– сила натяжения нити (так как рассматриваем отдельно груз 1 от системы тел, а связь заменяем силой реакции – силой натяжения). Согласно принципа Даламбера добавим к этим силам силу инерции, направленную в противоположную сторону ускорения. Таким образом, для груза 1 можно записать условие Даламбера:

, (1)

Проектируя это векторное уравнение на ось х, получим:

, (2)

где , или.

Подставляя это выражение в уравнение (2) и преобразовав, получим:

, (3)

2. Рассмотрим движение блока 2.

Блок 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси О. Выберем оси координат х и у с центром в точке О (рис. 12.4). Отбросим связи и заменим их соответствующими силами реакции. Таким образом, на тело действуют внешние силы: – сила тяжести блока;– сила натяжения нити;– сила натяжения нити;– силы реакции оси блока О.

Рис. 12.4

Согласно принципа Даламбера необходимо к данному блоку добавить пару сил с моментом будет направлен так, чтобы вращение осуществлялось против направления углового ускорения блока. Тогда, по принципу Даламбера, можно записать:

, (4,5)

Проектируя векторное уравнение (4) на оси координат, получим:

, (6)

где ;

– момент инерции блока относительно оси вращения О;

;

– радиус инерции блока;

– угловое ускорение блока.

Выразим угловое ускорение через ускорение первого тела.

Ускорение первого тела будет равно касательному ускорению в точкеN (рис. 12.5), т.е.:

, отсюда

.

Тогда , (7)

3. Рассмотрим плоскопараллельное движение катка 3 по наклонной плоскости.

Рассмотрим силы, действующие на каток 3: – сила тяжести;– сила трения;– сила натяжения нити (рис. 12.5).

Рис. 12.5

Согласно принципа Даламбера на каток 3 действуют силы инерции и– момент пары сил инерции.

Каток поднимается по наклонной плоскости вверх со скоростью центра масс . Так как точка Р является мгновенным центром скоростей, то

,

отсюда , так как, то.

Отсюда .

Так как , то.

Центр масс катка движется с ускорением , поэтому сила инерции будет равна:

.

Сила направлена в сторону, противоположную направлению вектора ускорения центра масс катка.

,

где – момент инерции катка относительно оси О₁.

Так как по условию задачи каток представляет однородный цилиндр, то

,

тогда .

Согласно принципа Даламбера:

, (8)

Представляя уравнения (3), (6) и (8), получим:

, (9)

В представленной системе пяти уравнений содержатся следующие неизвестные: ,,,,(с учетом того, что). Так как число неизвестных пять, то система (9) имеет решение и притом только единственное.