2. Теорема об изменении кинетической энергии системы
Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы:
, (10.5)
где 
– масса
ой
части системы;
– скорость
ой
части системы.
Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы.
Поступательное движение.
При поступательном движении все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс, тогда:
,
или
, (10.6)
где 
– масса системы;
– скорость центра масс.
Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.
От направления движения значение Т не зависит.
Вращательное движение.
Если тело вращается
вокруг какой-нибудь оси OZ
(рис. 10.2), то скорость любой его точки
будет равна:
,
где
– расстояние точки до оси вращения;
– угловая скорость вращения тела. Тогда:
, (10.7)
Рис. 10.2
Учитывая, что
– момент инерции точки массой
,
тогда:
– момент инерции тела относительно осиOZ.
Окончательно получим:
, (10.8)
Кинетическая энергия вращательного движения тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение.
При плоскопараллельном движении скорости всех точек в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 10.3).
Рис. 10.3
Тогда
, (10.9)
где 
– момент инерции тела относительно оси
Р;
– угловая скорость тела.
По теореме Гюйгенса:
, (10.10)
где 
– момент инерции тела относительно
оси, проходящей через центр масс тела;
– расстояние между осями Р и С.
Так как
– скорость центра масс тела.
Подставляя формулу (10.10) в выражение (10.9), получим:
,
т.е.:
, (10.11)
Учитывая, что
,
,
тогда
, (10.12)
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.
Теорема об изменении кинетической энергии системы
Так как система представляет совокупность материальных точек, то для одной точки справедлива теорема об изменении кинетической энергии точки:
, (10.13)
где 
– элементарные работы действующих на
точку внешних и внутренних сил.
Составляя уравнение (10.13) для каждой точки системы, получим:
, (10.14)
Учитывая, что
–
кинетическая энергия системы.
Тогда уравнение (10.14) примет вид:
, (10.15)
Проинтегрировав выражение (10.15), получим:
,
или
, (10.16)
Выражение (10.16) представляет теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Если система неизменяемая, т.е. расстояние между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяется. Например, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить. В этом случае сумма работ всех внутренних сил равна нулю, т.е.:
,
тогда уравнение (10.16) примет вид:
, (10.17)