Задача 5.2 (32.88)

На пружине, коэффициент жесткости которой г/см, подвешены магнитный стержень весом 50 г, проходящий через соленоид и медная пластинка весом 50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет токампер и развивает силу взаимодействия с магнитным стержнемдин. Сила торможения медной пластинки, вследствие вихревых токов равна, где,единицCGS и – скорость пластины. Определить вынужденные колебания пластинки.

Решение

а) б)

Рис. 5.7

На рис. 5.7 а) схематично представлено условие задачи. Стержень силой тяжести и пластину силой тяжестипредставим как материальную точку силой тяжести. На рис. 5.7 б) она представлена материальной точкойС массой , гдеи– массы соответственно стержня и пластины.

На материальную точку С действуют: – сила тяжести,– сила упругости пружины,– сила взаимодействия магнитного стержня и соленоида,– сила торможения вследствие вихревых токов.

, где– статическое отклонение, равное;, так как, то:.

, где,, учитывая, что, то:.

Составим уравнение второго закона Ньютона для материальной точки С, находящаяся под действием сил ,,,:

. (1)

Спроектируем векторное уравнение (1) на ось х:

.

Учитывая, что и подставляя выражения сил, получим:

. (2)

После преобразования дифференциального уравнения (2), получим:

. (3)

Обозначим ,,;

,;

,(м/с²).

По условию задачи частота возмущающей силы равна . Подставив полученные обозначения в уравнение (3), получим:

. (4)

Уравнение вынужденных колебаний будем искать в виде:

, (5)

где – амплитуда вынужденных колебаний, равная

, (6)

. (7)

Подставив численные значения в выражения (6) и (7), получим:

(см)

см.

или .

Подставив полученные значения в уравнение (4), получим:

, см.

Ответ: вынужденные колебания пластины –

см.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое вынужденные колебания?

2. Что такое явление резонанса?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 32.75. – 32.101. [3].

Литература: [1] – [5].

Лекция 6 Динамика механической системы и твердого тела. Основные определения.

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения или движения всех остальных.

Материальное тело – это совокупность материальных точек, образующих это тело.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы (обозначение ).

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел той же системы (обозначение ).

Свойства внутренних сил системы

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю

, (6.1)

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю

; , (6.2)

Масса системы. Центр масс

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

, (6.3)

Координаты центра масс системы определяются формулами:

; ;, (6.4)

где – массаk^ой частицы системы;

– координатыk^ой частицы системы;

– общая масса системы.

Точка С с координатами () называется центром масс или центром инерции механической системы.

Положение центра масс через радиус-вектор будет:

, (6.5)

где – радиус-вектор центра массk^ой частицы системы.