Задача 9.2 (28.8)

Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость V₂ в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении V₂=30 см/с, а r₂ в пять раз больше r₁.

Решение

На рис.9.3. представлена схема движения точки М массой m вокруг центра О.

Пусть в наиболее близкой от центра точке М₁ траектории скорость тела составляет V₁, а в наиболее отдаленной точке М₂ траектории – V₂ (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Применим теорему моментов относительно центра:

, (1)

По условию задачи, сила, действующая на точку, является центральной, т.е. линия действия силы проходит через данную точку и центр О (рис.9.3). Поэтому момент центральной силы относительно центраО будет равен нулю:

, (2)

Из условия (2) следует, что:

, т.е., (3)

Обозначим момент количеств движения точки относительно центра О через , тогда:

, (4)

Это означает, что для вектора количеств движения модуль и направление постоянные, и не меняются во времени и пространстве.

Для точки в положении М₁ модуль вектора количеств движения равен:

,(5)

Соответственно для точки в положении М₂ модуль вектора количеств движения равен:

,(6)

Так как справедливо условие (4), то выполняется равенство:

=, (7)

Отсюда следует, что: .

Учитывая, что по условию задачи , аV₁=30см/с, то V₂=см/с.

Ответ: скорость точки, наиболее отдаленной от центра траектории равна V₂ = 6см/с.

2. Теорема об изменении момента количеств движения системы

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

, (9.10)

Моменты количеств движения системы относительно координатных осей представляются формулами:

;;, (9.11)

представляют собой одновременно проекции векторана координатные оси.

Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения системы.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рис. 9.4).

Рис. 9.4

Рассмотрим точку М твердого тела, находящегося на расстоянии от оси вращенияz. Скорость точки М будет равной: , где– угловая скорость вращения твердого тела. Тогда для точки М массоймомент количеств движения относительно осиz будет равен:

.

Для всего тела момент количеств движения относительно оси z равен:

, (9.12)

Учитывая, что – момент точки массойотносительно осиz, тогда уравнение (9.12) будет иметь вид:

, т.е.:

, (9.13)

Так как для одной материальной точки массой , имеющую скорость, вектор момента количеств движения будет равен:

, (9.14)

Применяя теорему об изменении момента количества движения точки, получим:

, (9.15)

Тогда для всех точек системы будет справедливо выражение:

, (9.16)

где – сумма моментов внешних сил, действующих на систему;

–сумма моментов внутренних сил, действующих на систему, по свойству внутренних сил:

.

Тогда уравнение (9.16) имеет вид:

, (9.17)

Полученное уравнение представляет теорему изменения моментов количества движения для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части уравнения (9.17) на оси координат, получим:

;;, (9.18)

где – момент количества движения относительно оси х;

– момент количества движения относительно оси у;

– момент количества движения относительно осиz.