Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое физический маятник и уравнение его движения?

2. Что такое математический маятник и уравнение его движения?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 39.1 – 39.23 [3].

Литература: [1] – [5].

Лекция 12 Принцип Даламбера

Рассмотрим систему, состоящую n материальных точек. Пусть на отдельную точку действуют внешние и внутренние силы и, что приводит к появлению ускорения. Введем величину, равную:

, (12.1)

и назовем ее силой инерции точки (даламберовской силой инерции). Тогда будет справедливо соотношение:

, (12.2)

Выражение (12.2) описывает принцип Даламбера для одной материальной точки. Оно эквивалентно второму закону Ньютона, и наоборот. Согласно второго закона Ньютона:

, (12.3)

С другой стороны, перенося выражение в уравнение (12.2) и подставляя выражение (12.1) получим уравнение второго закона Ньютона (12.3).

Аналогично для всех точек тела получим следующий принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Таким образом, уравнения движения, составленные по второму закону Ньютона и используя принцип Даламбера равносильны.

Принцип Даламбера, также как и второй закон Ньютона можно использовать только для инерциальных систем отсчета.

Согласно законов равновесия сумма всех действующих сил на твердое тело равна нулю и сумма моментов этих сил относительно любого центра будет также равна нулю:

, (12.4)

Обозначим ,

где – главный вектор сил инерции системы;

–главный момент сил инерции системы относительно центра О.

Учитывая, что сумма внутренних сил и сумма моментов этих сил равна нулю, то:

, (12.5)

Выражение (12.5) эквивалентно уравнениям, выражающим теоремы об изменении количества движения и главного момента количеств движения.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела

Из равенств ,

где – главный вектор сил инерции системы;

–главный момент сил инерции системы относительно центра О.

Так как и, то

.

Следовательно, главный вектор сил инерции тела, совершающего любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

При криволинейном движении ускорение тела разложим на касательное и нормальное, то векторразложится на составляющие:

, (12.6)

, (12.7)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Поступательное движение.

Так как тело не вращается вокруг центра масс С, то

, поэтому .

Отсюда следует, что при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к одной равнодействующей, равной и проходящей через центр масс тела.

2. Плоскопараллельное движение.

Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей. Вследствие симметрии главный вектор и результирующая пара сил инерции, так же как и центр масс С тела, лежат в плоскости симметрии (рис. 12.1). Помещая центр приведения в точке С, получим:

, (12.8)

но так как , отсюда следует, что

, (12.9)

Таким образом, система сил инерции приводится к результирующей силе, равной и приложенной в центре масс С тела, и к лежащей в плоскости симметрии тела паре, момент которой определяется формулой:

Рис. 12.1

3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Пусть тело имеет плоскость симметрии, а ось вращения CZ перпендикулярна к этой плоскости и проходит через центр масс тела. При этом , а следовательно.

Тогда система сил инерции приводится к одной паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, и имеющей момент.

, (12.11)

Рассмотрим решение задачи на применение принципа Даламбера.