Лекция 11 Приложения общих теорем к динамике твердого тела Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси, на которое действуют внешние силы (рис. 1.11).

Рис. 11.1

Так как , то

.

Тогда , (11.1)

Так как момент количества движения числа вокруг оси z , то дифференцируя по времени, получим:

, тогда:

, или, (11.2)

– вращательный момент, т.е.:

, (11.3)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. если , тоили, или. Т.е. равномерное вращение;

2. , то или. Т.е. равнопеременное вращение твердого тела.

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 11.2а).

а) б)

Рис. 11.2

Схема физического маятника изображена на рис. 11.2б.

Воспользуемся уравнением для вращательного движения твердого тела:

или .

Если колебания малые, то

.

Обозначив , получим:

– это дифференциальное уравнение второго порядка. Составим характеристическое уравнение:

;

,

или ;.

Тогда:

;

или .

Круговая частота равна .

Отсюда:

, (11.4)

При радиана (около 23⁰) период определяется с точностью до 1%.

Математический маятник

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити (рис. 11.3).

Рис. 11.3

Аналогично, как и для физического маятника, период колебания равен:

.

Так как , то.

, (11.5)

При условии, что , получим:

;– приведенная длина физического маятника.

Плоскопараллельное движение твердого тела

Рассмотрим плоскопараллельное движение тела (рис. 11.4).

Рис. 11.4

По теореме о движении центра масс:

, или

;;– это дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела.

, (11.6)

Задача 11.1

Барабан радиусом R, весом Р имеет выточку (как у катушки) радиусом . К концам, намотанных на барабан нитей, приложены постоянные силыи, направление которых определяется углом; кроме сил на барабан действует пара с моментом М; когданаправление момента противоположна показанному на рисунке. При движении, начинающегося из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклонатак, как показано на рис. 11.5. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана, т.е.и наименьшее значение коэффициента тренияо плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр.

Дано: ;;;;.

Решение

Барабан совершает плоское движение под действием сил ,,,и момента. Так как направление силызаранее неизвестно, выбираем его произвольно. Проводим оси О_ху и составляем дифференциальные уравнения плоского движения.

Рис. 11.5

;, (1)

;, (2)

;

За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки.

1. Определим .

Так как и;

; , или.

, (3)

Делим обе части уравнения на R:

.

Сложим почленно (1) и (3), исключим из них :

, получим

,

т.е.: , так как, то, или.

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

; .

Начальные условия: .

После подстановки, получим: , тогда.

Определим . Так каки, согласно (2), отсюда, учитывая, что:

, или

.

По уравнению (1), получим:

.

Отсюда .

Так как , то:

.

Тогда , отсюда, следовательно.

Ответ: уравнение движения центра масс барабана ;

наименьший коэффициент трения .