Задача 6.4

Вычислить момент инерции тонкой однородной параболической пластины массы m относительно оси y. Основание пластины параллельно оси y и отстоит от него расстоянием а. Уравнение параболы, ограничивающей пластину, имеет вид: (рис 6.8).

Решение

Рис. 6.8

Выберем элементарный участок и рассчитаем его момент инерции относительно оси y.

Момент инерции участка массы dm будет:

где . Тогда. Так как, то:

Проинтегрируем это выражение:

Поверхностная плотность , гдеS – площадь пластины.

.

Тогда ,

Ответ: .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое механическая система?

2. Что такое момент инерции точки и тела?

3. Теорема Гюйгенса?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 34.7 – 34.34. [3].

Литература: [1] – [5].

Лекция 7. Теорема о движении центра масс механической системы

Рассмотрим систему материальных точек. Выделим произвольную точку с массой . Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (активных и реактивных связей) через, а равнодействующую всех внутренних сил – через. Тогда, по второму закону Ньютона, следует, что:

, (7.1)

Для всех точек системы можно составить систему уравнений:

, (7.2)

где – ускорениеi^ой точки системы.

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы (7.2):

, (7.3)

Из формулы для определения радиуса-вектора центра масс системы:

, (7.4)

где – радиусы-векторы точек, образующих систему;

– масса всей системы.

Получим:

, (7.5)

Дважды дифференцируя выражение (7.4) по времени получим:

, (7.6)

или:

, (7.7)

где – ускорениеk^ой части системы;

–ускорение центра масс системы.

Из уравнения (7.3) получим :

, или , (7.8)

где: – суммавнешних сил, действующих на систему;

–сумма внутренних сил, действующих в системе.

Уравнение (7.8) выражает теорему о движении центра масс системы, в координатной форме имеет вид:

; ;,(7.9)

Свойства внутренних сил системы:

1.Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю:

.

2.Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю:

; .

С учетом этого уравнения, выражающие теорему о движении центра масс, имеют вид:

, (7.10)

В координатной форме уравнение (7.10.) имеет вид:

; ;, (7.11)

Закон сохранения движения центра масс

1. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т.е. , то. Так как, то, учитывая, что. Отсюда.

Следовательно, если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно. Если в начальный момент центр масс был в покое, то он и останется в покое. Действие внутренних сил не может изменить движения центра масс системы.

2. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но проекция этих сил на какую-нибудь ось, например, ось ОХ, равна нулю:

.

Тогда из уравнения (7.11) следует, что , тогда.

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент , то и в любой последующий момент, т.е. центр масс системы вдоль осиОХ не перемещается ().

Посредством теоремы о движении центра масс можно решать как прямые, так и обратные задачи динамики. Рекомендуется следующая последовательность решения задач:

1. изобразить на рисунке все внешние силы системы;

2. выбрать систему осей координат;

3. записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат;

4. вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на все оси декартовых координат и подставить их в уравнения (7.9).