Резонанс.

Резонанс – это явление возрастания амплитуды колебания в случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.

В случае резонанса , тогда частное решение уравнения (1) следует искать в виде:.

Тогда ;

,

подставляя ив уравнение (1), получим:

.

Отсюда следует, что

, тогда: .

Частное решение имеет вид:

, (5.15)

Тогда решение уравнение (1) в случае если имеет вид:

, (5.16)

Анализ уравнения (7) показывает, что с течением времени амплитуда вынужденной силы возрастает неограниченно (рис. 5.3). Сдвиг фаз при резонансе равен .

Рис. 5.3

Задача 5.1 (32.77)

Найти уравнение прямолинейного движения точки весом , на которую действует восстанавливающая силаи сила, если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Решение

Рис. 5.4

Рассмотрим положение груза при растяжении пружины, равной . Начало координат поместим в положение статического равновесия и направим ось х по направлению растяжения пружины (рис. 5.4). На груз действуют следующие силы:– сила тяжести груза;– восстанавливающая сила (сила упругости пружины), равная при выбранной системе координат величине;– вынуждающая сила.

Составим дифференциальное уравнение движения груза:

Спроектировав это векторное уравнение на ось координат, получим:

, (1)

Подставив в уравнение (1) выражения для сил, получим:

Так как , то

.

Разделив обе части уравнения на массу, получим:

. (2)

Уравнение (2) представляет дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью. Решение этого уравнения будем искать в виде:

,

где – общее решение однородного дифференциального уравнения;

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид:

. (3)

Для решения этого уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение:

.

Отсюда следует, что . Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, то решение уравнения (3) ищем в виде:

.

Решение ищем в виде (так как):

.

Отсюда находим: ;.

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим:

.

Отсюда следует, что

.

Так как , то, следовательно

.

Тогда частное решение будет иметь вид:

.

Решение уравнения (2) тогда можно представить в виде:

. (4)

Коэффициенты С₁ и С₂ определим по начальным условиям: ;;. Подставив начальные условия в уравнение (4), получим:

, отсюда .

Продифференцируем уравнение (4) по времени:

,

подставив значения начальных условий, получим:

, т.е. .

Тогда уравнение (4) примет вид:

.

После преобразований, получим:

, где .

Ответ: , где.

2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Рассмотрим движение точки М массой m, на которую действуют: восстанавливающая сила , сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, а возмущающая сила(рис. 5.5). Дифференциальное уравнение движения точки М будет:

Рис. 5.5

Спроектируем это векторное уравнение на ось ох, получим:

, (5.17)

Так как ;,, то

, (5.18)

разделив обе части уравнения на массу, получим:

, (5.19)

Введя обозначения: ;;, получим

, (5.20)

Это дифференциальное уравнение неоднородное второго порядка, решение его ищем в виде:

, (5.21)

где – общее решение однородного дифференциального уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

, (5.22)

Для его решения составим характеристическое уравнение:

, (5.23)

Найдем корни этого квадратного уравнения:

.

При решение представлено равенством (4).

, (5.24)

где , постоянныеиопределяются по начальным условиям.

Частное решение ищем в виде:

, (5.25)

где и– постоянные, при которых уравнение (1) становится тождеством. Вычисляя производные,и подставляя их в уравнение (5.23) получим:

; .

Отсюда следует, что постоянные ине зависят от начальных условий. Уголхарактеризует сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой.

Решение уравнения (5.23) можно представить в виде:

. (5.26)

Видно, что решение (4) состоит из собственных колебаний (первое слагаемое) и вынужденных (второе слагаемое).

Собственные колебания являются затухающими.

На рис. 5.6 представлены: 5.6 а – собственные затухающие колебания; 5.6б – вынужденные колебания; 5.6 в – результирующее колебание.

а) б) в)

Рис. 5.6