2.1.5.2 Экспоненциальная модель вероятности безотказной работы

Зависимость надежности, следовательно, и ее основных показателей, от времени отличается для разных изделий или систем. Одним из способов описания зависимости надежности от времени является математическая модель надежности. Это выбранное математическое выражение, эмпирическая формула, которая очень близко отражает действительную зависимость надежности изделия от времени. Эта зависимость очень хорошо аппроксимирует один из основных показателей надежности - вероятность безотказной работы изделия от увеличения времени эксплуатации, включая и период интенсивного старения. Такие ММН с эмпирическими коэффициентами носят название статистических моделей распределения. Они необходимы для практического прогнозирования отказов, для любого времени эксплуатации изделия.

Наиболее простой и широко распространенной статистической моделью является экспоненциальная эмпирическая функция, хорошо отражающая зависимость основного показателя надежности - вероятности безотказной работы Рэ(t) изделия от распределения времени до отказа.

Экспоненциальная модель распределения времени до отказа представлена показательной функцией, которую, обычно, называют экспонентой и она выражается зависимостью (2.16)

где: - λпараметр модели, определяющий интенсивность отказов;

- еоснование натуральных алгоритмов – неперово число равное 2, 718281;

- tвремя, для которого прогнозируется вероятность безотказной работы.

Функция плотности вероятностей распределения времени до отказа экспоненциальной модели определяется равенством

, значение интенсивности отказов при эксплуатации так же постоянно,

асреднюю наработку на отказпринимают заMTTF. Графики ММН показаны на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3-Математические модели надежности:

- а) экспоненциальная; - б) модель Вейбулла-Гнеденко

Экспоненциальная модель может использоваться в случае, когда интенсивность отказов близка к постоянному значению, что характерно для радиоэлектронного оборудования периода эксплуатации, когда отказы очень незначительны, но они есть. Например, отказали лампы подсветки шкалы поддиапазонов.

2.1.5.3 Модель вбр Вейбулла-Гнеденко

Модель вероятности безотказной работы (ВБР) Вейбулла –Гнеденко получила практическое применение благодаря своей простоте, относительной стабильности и гибкости видоизменения.

Модель ВБР Вейбулла использует специальный вид распределения вероятностей случайных величин.

где αиβпараметры модели.

Определим из (2.17) формулу для ВБР Вейбулла.

Параметр αобъединяет выполнение сдвига и изменение масштаба распределения Вейбулла и рассчитывается по формуле (2.19) [4]. Определим параметр α, выбрав значение параметраβ = 0,5, изменяющего форму кривой распределения (для электронных приборовβ = 0,3÷0,5; механических 1,2÷1,4). Выберем для простоты расчетаP(1000) = 0,99. Тогда,

α= -lnP_В (t) /tβ≈0,000316. (2.19)

Рассчитаем прогноз ВБР через 10⁵ч. по двум моделям надежности для этой же системы без учета обслуживания и сравним значения. В случае экспоненциальной модели интенсивность отказов системы определится:

λ = dР/dt : Р ≈ 10 ^–51/ч.

Тогда, через 10⁵ч. работы ВБР системы, прогнозированной по экспоненциальной модели, будет иметь значение.

Прогноз по модели Вейбулла снизится, но не значительно.

А прогнозируемая вероятность безотказной работы по экспоненциальной модели снизилась почти в три раза.

Семейство распределений названо по имени В. Вейбулла [5] впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостных испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения.

Для упрощения расчетов, в [6] Гнеденко Б. и др. представили вспомогательные таблицы для вычислений функций распределения Вейбулла, Оценки параметров по предложенному методу квантилей приводит к уравнениям более простым, чем по методу максимального правдоподобия.

Форма функции распределения Вейбулла и ее поведение при прогнозировании ВБР, даже для больших t, существенно зависит от значений параметров моделиαиβ, и может трансформироваться в прямую, иметь вогнутость или даже выпуклость.

Рассмотрение примерного решения и сравнительного анализа показал, что выбор правильной модели надежности, ее параметров не совсем безразличен для практики расчета показателей.

Распределение Вейбулла широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники, микросхем.