6.1. Расчёт надёжности компьютерных систем

Цель расчета - сравнение вариантов при оптимизации технических решений, по критериям надежности разрабатываемой ВС.

При расчетах необходимо правильно применять тот или иной метод. Он должен соответствовать поставленной цели.

Так как методы точного расчета, например, для восстанавливаемых резервированных систем весьма громоздкие, то целесообразно для одиночного варианта производить расчет надежности без учета восстановления она еще повысится.

Расчет надежности нерезервированной аппаратуры производиться суммированием интенсивностей отказов

при экспоненциальной модели.

Интенсивность отказов сети определяется суммой интенсивностей отказов входящей в ее состав плат, контролеров, адаптеров, полей, паек, разъемов и других устройств.

Иногда к интенсивности отказов аппаратуры необходимо также прибавлять и интенсивность отказов ПО

Если нерезервированная ВС работает заданное время без восстановления то В.Б.Р. определяется

В случае резервированных систем, необходимо сначала определить интенсивность отказов всех резервируемых систем и резервирующих подсистем по формулам, приведенным выше, затем определить вероятность безотказной работы подсистем,

далее пользоваться формулами для последовательных структур

, для скользящего резервирования,или методом МП&МС в случае сложных структур или другим формулам сложных структур логики с переплетением, мажоритированием, систем с голосованием и реконфигурацией и др.

Если резерв ненагружен, применяется формула Пуассона

без перехода к вероятностям безотказной работы отдельных резервированных и резервирующих подсистем.

Расчет надежности восстанавливаемых систем.

В случае, когда восстанавливаемая система, не резервируемая и интенсивность отказов постоянная величина, а временем восстановления можно пренебречь, то достаточно рассчитать интенсивность ее отказов, поскольку в этих случаях параметр потока отказов равен интенсивности отказов системы.

В случае, когда временем восстановления системы пренебречь нельзя, необходимо прежде всего оценить время восстановления системы. Последнее определяется !! обнаружения отказа и временем ремонта. Во многих случаях время восстановления оценивают в среднем для ВС величиной в 1 час. В отдельных случаях, когда произошло разрушение ПО, то к времени восстановления аппаратуры добавляют еще время восстановления информации и ПО.

7 Надежность систем массового обслуживания

Процессы, имеющие структуру рисунка 7.1, называют системами массового обслуживания (СМО). На вход системы, через случайные интервалы времениt, поступают заявки входного потока, становясь в очередь. Поток по очереди обрабатывается, заявки, после обслуживания, покидают систему, освобождая место новым. Итак, система: входной поток, - очередь, - система обслуживания, – выходной поток, - это элементы СМО.

Рисунок 7.1- Структура СМО

Основными характеристиками СМО являются:

- время (интервал) поступления заявок;

- интенсивность поступающих заявок;

- вероятность поступления заявки в определенный момент времени;

- вероятность того, что за время t поступит не более n заявок - функция распределения;

- время обслуживания;

- интенсивность обслуживания;

- время ожидания и его плотность распределения;

Входящий поток называют простейшим, если вероятность поступления того или иного числа заявок за интервал tзависит только от протяженности этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени (стационарность), причем требования поступают по одиночке (ординарность) и независимо друг от друга (отсутствие последствия).

Для простейшего потока плотность распределения числа требований за время t выражается распределением Пуассона

. (7.1) Число требований в заданном интервале времени равно

математическому ожиданию (среднее значение)

( 7.2)

в частности, отсюда интенсивность (или плотность) потока

(7.3)

а вероятность того, что в интервале времени t не поступит ни одного требования (отказа), равна

, (7.4) а вероятность поступления одного требования

(7.5)

В общем случае вероятность того, что за время t поступит не более n требований, определяется функцией распределения F(n,t), которая равна сумме вероятностей для kn т.е.

(7.6)

А вероятность поступления более n требований за время t, равна дополнению F(n,t) до единицы т.е.

(7.7)

Обычно, простейший поток называется марковским.

Пусть на систему МО, состоящую из m одинаковых каналов, поступает простейший поток требований. При наличии хотя бы одного свободного канала немедленно начинается обслуживание, а если все каналы заняты, требование становится в очередь.

Время обслуживания и время ожидания подчинены экспоненциальному закону обслуживания.

Обозначим через состояние системы с резервными каналами, в котором отказало равно i каналов (- состояние, в котором все каналы исправны) и очереди нет (i=0,1,...,n). При i>n образуется очередь, т.е. отказ всей системы.

Обозначим через вероятность того, что в момент t система находится в состоянии. Очевидно, для любого времени t сумма вероятностей состояний равна единице (нормировочное условие), т.е.

(7.8) Задача состоит в том, чтобы определить вероятности состояний, для несовместных состояний системы

Для марковских цепей вероятности состояния СМО определяются из системы дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова. Составление уравнений определяются графом (рисунок 7.2) состояний системы МО, вершинами которого служат состояния , а дугами – возможные переходы из состояния в состояние с плотностью отказов.

Рисунок 7.2-Граф надежности СМО

В операторном виде система дифференциальных уравнений записывается как

, (7.9)

где- .

Для системы состоящий из множества дифференциальных уравнений Колмогорова вероятностных состояний, уравнение можно записать непосредственно из графа надежности рисунка. 7.2, например:

(7.10) точно по такой схеме записываются уравнения для других состояний системы i=0,1,.. .n.

Правило:Производная вероятности нахождения системы в i-м состоянии равна сумме членов, каждый из которых представляет собой произведение веса дуги, инцидентной i-ой вершине, на вероятность того состояния к которому она направлена. При этом, вес дуги принимается положительным, если дуга направлена к i-ой вершине, втекает, и отрицательным если наоборот, от i-ой вершины.Это правило записи уравнений Колмогорова по графу любого марковского процесса [4,5].

Коэффициенты при в уравнении 7.10 составляют матрицу интенсивностей переходов из любого состояния системы в соседнее ("выше" или "ниже"), где интенсивность восстановления

(7.11)

где - интенсивность перехода из i состояния в j.

В теории массового обслуживания чаще интересуются не столько тем, как протекает процесс во времени, сколько предельнымстационарным режимом, который (если он существует) наступает если. Стационарный режим описывается системой обыкновенных алгебраических уравнений, которая получается из системы дифференциальных уравнений путем приравнивания нулю всех производных по времени, т.е. получим:

(7.12)

где i=1...n.

Присоединив к системе 7.11 нормировачное условие можно определить значения вероятностей в установившемся режиме и получить ряд общих характеристик процесса.

7.1 РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМ СМО

Такие ВС хорошо рассчитываются с помощью математического аппарата систем массового обслуживания. Рассмотрим пример.

Два инженера по регулировке обслуживают вычислительный центр, состоящий из шести резервных универсальных ЭВМ. Остановка каждой ЭВМ происходит в среднем каждые 30 минут. Процесс наладки занимает в среднем 10 минут. Определить среднюю занятость наладчиков, абсолютную пропускную способность и среднее количество неисправных ЭВМ.

Возможные состояния вычислительной системы обслуживания:

s0 - все работают, инженеры не заняты;

s1 - ЭВМ остановилась и один инженер занят;

s2 - две ЭВМ остановились и два инженера заняты;

si -i ЭВМ остановились, две из них настраиваются, i2 ждут очереди (i=3,4,5,6).

Нарисуем граф системы резервных каналов обслуживания с восстановлением рисунок. 7.3. Общее число состояний отказов равно n+1, где n - количество резервных ЭВМ ВС с восстановлением.

Рисунок. 7.3 Граф резервируемой ВС с восстановлением

Решение.Определяем интенсивность отказов(две ЭВМ в час); определяем интенсивность обслуживания(6 ЭВМ в час). Запишем уравнение Колмогорова для стационарного режима:

Решая алгебраические уравнения, находим:

(б е з)

Среднее число занятости инженеров определяется математическим ожиданием распределения налаживаемых ЭВМ, т.е. .

При интенсивности обслуживания , среднее число ЭВМ, обслуживаемых в 1 час т.е., абсолютная пропускная способность.

Среднее число неисправных ЭВМ равно математическому ожиданию распределения ЭВМ связанного с процессом обслуживания .

Этот пример типичен для замкнутых системмассового обслуживания (интенсивность потока поступающих отказов зависит от состояний самой системы). Такие графы (процессы) называются "гибелью" и размножения.

Коэффициент готовности системыопределяется вероятностью того, что система в некоторый момент времени t находится в рабочем состоянии