2.1.5.4 Модель Пуассона

Модель Пуассона отображает случайный процесс Х(t)с независимыми приращениями Х(t₂)–Х(t₁), t₂ > t₁, имеющими распределения Пуассона.В однородном пуассоновском процессе для любыхt₂ > t₁математическая модель определяется

где, коэффициент λ представляет интенсивность отказов пуассоновского распределения;

n= 0,1,2,3,… – число возможных отказов устройства в интервале Х(t₂)–Х(t₁)распределения Пуассона, для которого определяется вероятность безотказной работы;

Модель Пуассона позволяет определить, какая вероятность P(t,n) того, что на заданном интервале времени (t₁,t₂) произойдет ровно n отказов, если время между отдельными отказами распределено экспоненциально с параметром. λ. Распределение Пуассона можно представить в упрощенном виде.

Модель Пуассона пригодна для пуассоновского потока случайных событий, когда выполняются условиястационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Стационарность- параметры потока не зависят от времени на оси и зависят от протяженности интервала.

Ординарность- события поступают последовательно, по очереди.

Отсутствие последствия- события независимы друг от друга и от прошлого.

Стационарный потоксобытий - простейший поток, представленный на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 - Стационарный поток событий

Рисунок 2.5- Распределение Пуассона

Число отказов в заданном интервале для пуассоновской модели равно математическому ожиданию M(n)=λt.

Таким образом, параметр λt определяет среднее значение числа отказов за интервал времени t, а λ - средняя интенсивность отказов в единицу времени.

Траектории распределения Пуассона Р{Х(t)}(смотри рисунок 2.5) представляют собой ступенчатые функции со скачками размера 1. Моменты скачков 0 <t₁<t₂<… образуют простейший поток требований во многих системах массового обслуживания.

2.1.5.5 Вероятность отказа изделия в работе

В противовес показателю надежности вероятность безотказной работы, является показатель вероятность отказа.

Вероятность отказа Q(t) - вероятность того, что случайное время до отказа меньше заданного времени наработки.По величине значения, показатель надежности является дополнением к вероятности безотказной работы до 1,

Q(t) = l - P(t). (2.22)

Вероятность отказа изделия Q(t) совпадает и равна по значению функции распределения времени отказа F(t) = Q(t). При испытаниях Q определяется как

где n_k- число вышедших из строя изделий из-за отказа;

N₀- число изделий в начале испытаний.

В общем случае функция распределения времени отказа является интегральной

,

где ƒ_t(x) - функция плотности распределения до отказа;

х - переменная интегрирования. Тогда,

.

2.1.6 Поток отказов

Поток отказов W(t) выражает число отказов в единицу времени и на один образец аппаратуры. Статистически поток отказов оценивается , как число отказов N(t, t+Δt) в достаточно малом интервале времени, отнесенное к числу начальных образцов и интервалу времени.

2.1.7 Коэффициент готовности

Для сложных специальных автоматизированных систем, состоящих из отдельных одинаковых подсистем, и выполняющих круглосуточное дежурство есть смысл говорить о их степени готовности к выполнению возложенных задач.

К таким комплексам можно отнести вычислительный центр, состоящий из универсальных компьютеров, АСУРК (автоматизированная система управления ракетным комплексом) и др.