8.2 Контроль по модулю

Самым распространенным аппаратным контролем в цифровых ЭВМ является контроль по модулю. Если возникла ошибка, и число перешло в другой класс эквивалентности, то ошибка обнаруживается достаточно легко. Если произошел ряд ошибок, а число осталось в предыдущем классе эквивалентности, то ошибка не обнаруживается. В один и тот же класс эквивалентности попали числа, сравнимые по модулю.

Пусть некоторое целое неотрицательное число представлено в виде , (8.1)

где а –целая часть отношения ;

q –модуль, принятый для контроля;

-остаток.

Если числа иимеют, говорят чтоисравнимы по модулю, т.е.или.

Поскольку число возможных значений равно q , то и число классов эквивалентности равно q.

Общее свойство контроля по модулю q: чем больше q, тем больше классов эквивалентности, тем меньше мощность классов и меньше вероятность того, что число останется при ошибке в том же классе, т.е. больше вероятность обнаружения ошибки. Модуль рекомендуется выбирать, где m –основание позиционной системы счисления. Контролю по модулю подвергаются основные узлы цифровой техники - там, где информация хранится, передаётся или подвергается арифметическим преобразованиям. Последнему способствует свойство остатков:

(8.2)

(8.3)

сумма или произведение чисел сравнимы с суммой или произведением остатков этих чисел, взятых по одному и тому же модулю q.

Рисунок 8.2- Структура контроля по mod q

Контроль хранения или передачи числа по модулю qосуществляется по структурной схеме рисунка 8.2, где А поступает в ЗУ на хранение и одновременно определяется по modq его остаток, для хранения в дополнительном ЗУ. После считывания числа, снова берётся его остаток по mod q и сравнивается. При не сравнении, вырабатываеться сигнал А. Здесь применяется и контроль по mod 2 суммы цифр числа.

Контроль сложения чиселосуществляется по структурной схеме рисунка 8.3.

Рисунок 8.3- Контроль сложения

Одновременно с суммированием чисел и, выполняется суммирование их остатков. Остатки сравниваются.

Контроль умножения чисел производится по аналогичной схеме рисунка 8.3, только вместо сумматоров стоят множительные устройства.

Контроль деления чиселпроизводится по структуре рисунка 8.4.

Рисунок 8.4- Контроль деления

При помощи преобразователей modq образуется остатокделимогои остатокпроизведения частного и делителя, сравнение которых даёт сигнал ошибки в случае несовпадения результатов.

Контроль по mod2 называют контролем по четности. Это самая простая схема с одним дополнительным разрядом.

Рассмотрим степень полноты контроля по mod q. Пусть число А представлено в форме

,

где - коэффициенты разрядов;

n –разрядность числа;

N –основание счисления.

Тогда, остаток по modq обнаруживает все комбинации ошибок, кроме ошибок условия

, (8.4)

где ошибка

-значение i-го разряда числа, содержащего возможно ошибку;

-правильное (безошибочное) значение i-го разряда;

-основание счисления.

Из 8.4 следует, что если mod q выбрать равным N+1 , то обнаруживаются все одиночные ошибки. Действительно, если одиночная ошибка не обнаруживается, то должно выполняться равенство , что невозможно, т.к. mod (N+1) выбиралось из условия

если четно i

если нечетно i

Следовательно, все одиночные ошибки обнаруживаются.

Вывод: в двоичной системе счисления для обнаружения ошибок, при передаче и хранении данных, может быть использован цифровой контроль по mod2, как наиболее простой способ, а для контроля арифметических операций контроль по mod3.

Существуют и другие, комбинированные приёмы контроля по модулю.

Лекция №8.